集合与函数概念
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必修1 第一章：集合与函数概念

本章是高中数学的基石，主要引入了现代数学的两个核心语言：集合与函数。

1.1 集合

基础概念与术语：

  • 集合 (Set)：指定的某些对象的全体。集合中的元素必须是确定的、互异的、无序的。通常用大写字母 $A, B, C$ 等表示。
  • 元素 (Element)：集合中的每一个对象。通常用小写字母 $a, b, c$ 等表示。
  • 属于 (Belong to)：如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，记作 $a \in A$。
  • 不属于 (Not belong to)：如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，记作 $a \notin A$。
  • 常用数集：
    • 自然数集：$\mathbb{N}$ (包含0)
    • 正整数集：$\mathbb{N}^*$ 或 $\mathbb{N}_+$
    • 整数集：$\mathbb{Z}$
    • 有理数集：$\mathbb{Q}$
    • 实数集：$\mathbb{R}$
  • 列举法 (Roster Method)：把集合的元素一一列举出来，并用花括号"{ }"括起来表示集合的方法。例如：$\{1, 2, 3\}$。
  • 描述法 (Set-builder Notation)：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。格式为 $\{x \mid p(x)\}$，其中 $x$ 代表元素，$p(x)$ 是元素满足的条件。
  • 子集 (Subset)：对于两个集合 $A, B$，如果集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 中的元素，称集合 $A$ 为集合 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$ (或 $B \supseteq A$)。
  • 真子集 (Proper Subset)：如果 $A \subseteq B$，但存在元素 $x \in B$ 且 $x \notin A$，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $A \subsetneq B$。
  • 空集 (Empty Set)：不含任何元素的集合，记作 $\emptyset$。规定：空集是任何集合的子集。
  • 并集 (Union)：由所有属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的元素组成的集合，记作 $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$。
  • 交集 (Intersection)：由属于集合 $A$ 且属于集合 $B$ 的所有元素组成的集合，记作 $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$。
  • 补集 (Complement)：对于一个集合 $A$，由全集 $U$ 中不属于集合 $A$ 的所有元素组成的集合，称为集合 $A$ 相对于全集 $U$ 的补集，记作 $\complement_U A = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\}$。

1.2 函数及其表示

基础概念与术语：

  • 函数 (Function)：设 $A, B$ 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 $f$，使对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $f(x)$ 和它对应，那么就称 $f: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数。
    • 记作：$y = f(x), x \in A$。
    • 自变量 (Independent Variable)：$x$。
    • 定义域 (Domain)：$x$ 的取值范围 $A$。
    • 函数值 (Function Value)：与 $x$ 对应的 $y$ 值，即 $f(x)$。
    • 值域 (Range)：函数值的集合 $\{f(x) \mid x \in A\}$。
  • 区间 (Interval)：设 $a, b$ 是两个实数，而且 $a < b$。
    • 闭区间：$[a, b] = \{x \mid a \le x \le b\}$
    • 开区间：$(a, b) = \{x \mid a < x < b\}$
    • 半开半闭区间：$[a, b)$ 或 $(a, b]$
    • 无穷区间：如 $(-\infty, +\infty)$, $[a, +\infty)$ 等。
  • 映射 (Mapping)：设 $A, B$ 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 $f$，使对于集合 $A$ 中的任意一个元素 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的元素 $y$ 与之对应，那么就称对应 $f: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个映射。函数是特殊的映射（数集到数集）。
  • 分段函数 (Piecewise Function)：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。注意它是一个函数，而不是几个函数。

1.3 函数的基本性质

基础概念与术语：

  • 单调性 (Monotonicity)：
    • 增函数 (Increasing Function)：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内某个区间 $D$ 上的任意两个自变量的值 $x_1, x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，那么就说函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上是增函数。
    • 减函数 (Decreasing Function)：类似地，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则为减函数。
    • 单调区间：如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $D$ 上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间 $D$ 叫做 $y=f(x)$ 的单调区间。
  • 最大值与最小值 (Maximum and Minimum)：

    • 最大值：设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果存在实数 $M$ 满足：

      1. 对于任意的 $x \in I$，都有 $f(x) \le M$；
      2. 存在 $x_0 \in I$，使得 $f(x_0) = M$。

      那么 $M$ 是函数的最大值。

    • 最小值：类似定义，需满足 $f(x) \ge M$ 且存在 $x_0$ 使 $f(x_0)=M$。

  • 奇偶性 (Parity)：
    • 偶函数 (Even Function)：如果对于函数 $f(x)$ 的定义域内任意一个 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做偶函数。图象关于 $y$ 轴对称。
    • 奇函数 (Odd Function)：如果对于函数 $f(x)$ 的定义域内任意一个 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做奇函数。图象关于原点对称。
    • 注：判断奇偶性前，首先要看定义域是否关于原点对称。
【题目 1】（基础题：集合的运算）

已知集合 $A = \{x \mid -1 < x < 3\}$，集合 $B = \{x \mid x > 1\}$，求 $A \cap B$。

  • 考查内容：集合交集的定义，不等式区间的公共部分求解。
  • 易错点：
    1. 混淆交集（且）与并集（或）的概念。
    2. 端点值的取舍错误（本题號玺为开区间，但需养成棂查是否包含等号的习惯）。
  • 解析过程：
    1. 分析集合 $A$：表示数轴上大于 $-1$ 且小于 $3$ 的部分，即区间 $(-1, 3)$。
    2. 分析集合 $B$：表示数轴上大于 $1$ 的部分，即区间 $(1, +\infty)$。
    3. 求交集 $A \cap B$：即找出既属于 $A$ 又属于 $B$ 的元素。
    4. 在数轴上観察，两区间的重叠部分为大于 $1$ 且小于 $3$ 的区域。
    5. 故 $A \cap B = \{x \mid 1 < x < 3\}$。
  • 答案：$\{x \mid 1 < x < 3\}$（或写成区间 $(1, 3)$）
【题目 2】（中档题：函数的定义域）

求函数 $f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3}$ 的定义域。

  • 考查内容：函数定义域的求解规则，涉及异次根式和分式的限制条件。
  • 易错点：
    1. 只考虑根号下非负，忽略分模不能为零。
    2. 只考虑分模不为零，忽略根号限制。
    3. 最终结果未取“交集”，错误地取了“並集”。
    4. 端点 $2$ 能否取到判断失误（$\ge 0$ 可取，$ \neq 0$ 不可取）。
  • 解析过程：
    1. 要使函数解析式有意义，需同时满足以下两个条件：
      • 偶次根式下的被开方数必须非负：$x - 2 \ge 0$
      • 分式的分母不能为零：$x - 3 \neq 0$
    2. 解不等式组：
      • 由 $x - 2 \ge 0$ 得 $x \ge 2$。
      • 由 $x - 3 \neq 0$ 得 $x \neq 3$。
    3. 求上述两个条件的公共部分（交集）： $x$ 必须大于等于 $2$，且不等于 $3$。
    4. 用集合或区间表示为：$[2, 3) \cup (3, +\infty)$。
  • 答案：$\{x \mid x \ge 2 \text{ 且 } x \neq 3\}$ （或 $[2, 3) \cup (3, +\infty)$）
题目 3：函数解析式与值域

已知 $f(x)$ 是一次函数，且满足 $f(f(x)) = 4x + 3$。

  1. 求 $f(x)$ 的解析式；

  2. 并求 $f(x)$ 在区间 $[-1, 2]$ 上的值域。

  • 考查内容：函数的复合运算、函数的值域求解。
  • 易错点：待定系数法比较系数时，注意对应所有项的系数，包括常数项。值域求解需结合单调性。

  1. 设 $f(x) = ax + b$，则 $$ f(f(x)) = a(ax+b) + b = a^2 x + ab + b = 4x + 3 $$ 比较系数得： $$ \begin{cases} a^2 = 4 \\ ab + b = 3 \end{cases} $$ 解得：

    • 当 $a = 2$ 时，$b = 1$，$f(x) = 2x + 1$。
    • 当 $a = -2$ 时，$b = -3$，$f(x) = -2x - 3$。

  2. 由 $f(x)$ 定义域可知：

    对于 $f(x) = 2x + 1$，在$[-1, 2]$上单调递增，

    最小值 $f(-1) = -1$，最大值 $f(2) = 5$，

    值域为$[-1, 5]$；

    对于 $f(x) = -2x - 3$，在$[-1, 2]$上单调递减，

    最小值 $f(2) = -7$，最大值 $f(-1) = -1$，

    值域为$[-7, -1]$。

应分开表述，不能合并。

因为 $f(x)$ 有两个不同的解析式，在区间 $[-1,2]$ 上分别对应不同的值域，不能简单合并为一个区间，否则会丢失函数的本质特征。

【题目 4】（难题：函数性质的综合应用）

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上单调递增，且 $f(2) = 3$。若实数 $a$ 满足 $f(a^2 - a) < 3$，求实数 $a$ 的取值范围。

  • 考查内容：函数的奇偶性、单调性的综合应用，抽象函数不等式的求解，一元二次不等式的解法。
  • 易错点：
    1. 无法利用奇函数性质推导整个定义域上的单调性（误以为只在正半轴递增）。
    2. 不能将常数 $3$ 转化为函数值 $f(2)$ 从而去掉函数符号 $f$。
    3. 解一元二次不等式时，因式分解错误或区间判断反了。
  • 解析过程：
    1. 转化不等式右边： 已知 $f(2) = 3$，所以原不等式 $f(a^2 - a) < 3$ 可化为 $f(a^2 - a) < f(2)$。
    2. 分析函数的单调性：
      • 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数。
      • 已知 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增。
      • 根据奇函数的性质：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。因此，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上也是单调递增的。
      • 综上，$f(x)$ 在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上是单调递增的。
    3. 去函数符号： 因为 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，且 $f(a^2 - a) < f(2)$， 所以自变量满足：$a^2 - a < 2$。
    4. 解一元二次不等式： 移项得：$a^2 - a - 2 < 0$ 因式分解：$(a - 2)(a + 1) < 0$ 对应方程 $(a - 2)(a + 1) = 0$ 的两根为 $a_1 = -1, a_2 = 2$。 由于二次项系数 $1 > 0$（开口向上），小于 $0$ 的部分位于两根之间。 故解得：$-1 < a < 2$。
  • 答案：$\{a \mid -1 < a < 2\}$ （或 $(-1, 2)$）
题目 5：函数性质综合

已知函数 $f(x) = \frac{ax + b}{1 + x^2}$ 是定义在 $(-1, 1)$ 上的奇函数，且 $f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$。

  1. 确定函数 $f(x)$ 的解析式；
  2. 用定义证明 $f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上是增函数；
  3. 解不等式 $f(t-1) + f(t) < 0$。
  1. 利用奇函数 $f(0) = 0$ 得 $b = 0$，

再代入 $f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ 解得 $a = 1$，

故 $$f(x) = \frac{x}{1+x^2}。$$

  1. 任取 $x_1, x_2 \in (-1, 1)$，且 $x_1 < x_2$，则 $$ f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{1+x_1^2} - \frac{x_2}{1+x_2^2} = \frac{(x_1 - x_2)(1 - x_1 x_2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)} $$ （注：有关因式分解过程，请参阅：因式分解）
  • 分母 $(1+x_1^2)(1+x_2^2) > 0$。
  • 分子：$x_1 - x_2 < 0$，且由于 $x_1, x_2 \in (-1,1)$，有 $|x_1 x_2| < 1$，即 $1 - x_1 x_2 > 0$。

因此 $f(x_1) - f(x_2) < 0$，即 $f(x_1) < f(x_2)$，故 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上单调递增。

  1. 不等式 $f(t-1) + f(t) < 0$。

由奇函数：$f(-x) = -f(x)$，所以 $-f(t) = f(-t)$。

原不等式化为：$f(t-1) < -f(t) = f(-t)$。

由于 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上单调递增，需确保 $t-1$ 和 $-t$ 都在 $(-1,1)$ 内。

详细推导如下：

  • $t-1 \in (-1,1)$，即 $-1 < t-1 < 1$，解得 $0 < t < 2$；
  • $-t \in (-1,1)$，即 $-1 < -t < 1$，解得 $-1 < t < 1$。

两者的交集为 $0 < t < 1$。

因此，不等式等价于： $$ t-1 < -t $$ 解得 $$t < \frac{1}{2}。$$

结合定义域 $0 < t < 1$，得 $0 < t < \frac{1}{2}$。