基本初等函数（I）
Posted on :: documentation

必修1 第二章：基本初等函数（I）

本章主要学习指数函数、对数函数和幂函数。重点在于理解运算规则（指数与对数）以及函数图象与性质的对应关系。

2.1 指数函数

基础概念与术语：

  • $n$ 次方根 ($n$-th Root)：一般地，如果 $x^n = a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根，其中 $n > 1$ 且 $n \in \mathbb{N}^*$。
    • 当 $n$ 是奇数时，正数的 $n$ 次方根是正数，负数的 $n$ 次方根是负数。
    • 当 $n$ 是偶数时，正数的 $n$ 次方根有两个，互为相反数，记作 $\pm\sqrt[n]{a}$；负数没有偶次方根。
  • 根式 (Radical)：式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做根式。
    • 根指数 (Radical Exponent)：$n$。
    • 被开方数 (Radicand)：$a$。
  • 分数指数幂 (Fractional Exponent)：
    • 正数的正分数指数幂：$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ ($a > 0, m, n \in \mathbb{N}^*$, 且 $n > 1$)。
    • 正数的负分数指数幂：$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。
    • $0$ 的正分数指数幂等于 $0$；负分数指数幂没有意义。
  • 有理数指数幂的运算性质：
    • $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
    • $(a^r)^s = a^{rs}$
    • $(ab)^r = a^r b^r$
  • 指数函数 (Exponential Function)：
    • 定义：一般地，函数 $y = a^x$ ($a > 0$ 且 $a \neq 1$) 叫做指数函数，其中 $x$ 是自变量，定义域为 $\mathbb{R}$。
    • 底数限制：规定 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 是为了保证 $x$ 取任意实数时函数都有意义，且函数不是常数函数。
    • 图象与性质：
      • 当 $a > 1$ 时：图象在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；过定点 $(0, 1)$；当 $x > 0$ 时 $y > 1$，当 $x < 0$ 时 $0 < y < 1$。
      • 当 $0 < a < 1$ 时：图象在 $\mathbb{R}$ 上单调递减；过定点 $(0, 1)$；当 $x > 0$ 时 $0 < y < 1$，当 $x < 0$ 时 $y > 1$。
      • 所有指数函数的图象都在 $x$ 轴上方，即值域为 $(0, +\infty)$。

2.2 对数函数

基础概念与术语：

  • 对数 (Logarithm)：一般地，如果 $a^x = N$ ($a > 0$ 且 $a \neq 1$)，那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x = \log_a N$。
    • 底数 (Base)：$a$。
    • 真数 (Argument)：$N$。注意：真数必须大于 0，即 $N > 0$。
  • 常用对数 (Common Logarithm)：以 10 为底的对数，记作 $\lg N$ (即 $\log_{10} N$)。
  • 自然对数 (Natural Logarithm)：以无理数 $e$ ($e \approx 2.71828...$) 为底的对数，记作 $\ln N$ (即 $\log_e N$)。
  • 对数与指数的关系：$a^x = N \iff x = \log_a N$ ($a > 0, a \neq 1, N > 0$)。
  • 对数的运算性质：
    • $\log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$ $$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$$
    • $\log_a M^n = n \log_a M$ ($n \in \mathbb{R}$)
  • 换底公式 (Change of Base Formula)： $$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} (a, c > 0 且 a, c \neq 1, b > 0)。$$
  • 对数函数 (Logarithmic Function)：
    • 定义：一般地，函数 $y = \log_a x$ ($a > 0$ 且 $a \neq 1$) 叫做对数函数，其中 $x$ 是自变量，定义域为 $(0, +\infty)$。
    • 反函数 (Inverse Function)：指数函数 $y = a^x$ 与对数函数 $y = \log_a x$ 互为反函数。它们的图象关于直线 $y = x$ 对称。
    • 图象与性质：
      • 当 $a > 1$ 时：图象在 $(0, +\infty)$ 上单调递增；过定点 $(1, 0)$。
      • 当 $0 < a < 1$ 时：图象在 $(0, +\infty)$ 上单调递减；过定点 $(1, 0)$。
      • 所有对数函数的图象都在 $y$ 轴右侧。

2.3 幂函数

基础概念与术语：

  • 幂函数 (Power Function)：
    • 定义：一般地，函数 $y = x^\alpha$ 叫做幂函数，其中 $x$ 是自变量，$\alpha$ 是常数。
    • 形式特征：系数必须是 $1$，底数是自变量 $x$，指数是常数。
  • 常见幂函数的图象与性质： 教材主要研究 $\alpha = 1, 2, 3, \frac{1}{2}, -1$ 这五种情况。
    • $y = x$：奇函数，单调递增。
    • $y = x^2$：偶函数，在 $(-\infty, 0]$ 递减，在 $[0, +\infty)$ 递增。
    • $y = x^3$：奇函数，在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
    • $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$：非奇非偶函数，定义域 $[0, +\infty)$，单调递增。
    • $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$：奇函数，图象是双曲线，在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上分别单调递减。
  • 公共点：所有幂函数在 $(0, +\infty)$ 都有定义，且图象都过点 $(1, 1)$。
【题目 1】（基础题：指数与对数运算）

计算下列各式的值：

  1. $(\sqrt[3]{2} \times \sqrt{3})^6 + \log_3 27 + \lg 25 + \lg 4$
  2. 已知 $2^a = 5^b = 10$，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值。

  • 考查内容：分数指数幂的运算性质、对数的运算性质（积、商、幂的对数）、换底公式的推论。

  • 易错点：

    1. 指数运算法则混淆，如 $(a^m)^n = a^{mn}$ 与 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 搞混。
    2. 对数运算中 $\lg 25 + \lg 4 = \lg(25+4)$ 的错误算法（应为 $\lg(25 \times 4)$）。
    3. 第二问中无法将指数式转化为对数式，或者不懂得利用 $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$。

  • 解析过程： 第1小题：

    1. 处理幂运算：$(\sqrt[3]{2} \times \sqrt{3})^6 = (2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}})^6 = (2^{\frac{1}{3}})^6 \times (3^{\frac{1}{2}})^6 = 2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108$。
    2. 处理对数项：$\log_3 27 = \log_3 (3^3) = 3$。
    3. 处理常用对数项：$\lg 25 + \lg 4 = \lg(25 \times 4) = \lg 100 = 2$。
    4. 求和：$108 + 3 + 2 = 113$。

    第2小题：

    1. 由 $2^a = 10$ 得 $a = \log_2 10$，所以 $$\frac{1}{a} = \frac{1}{\log_2 10} = \log_{10} 2 = \lg 2。$$
    2. 由 $5^b = 10$ 得 $b = \log_5 10$，所以 $$\frac{1}{b} = \frac{1}{\log_5 10} = \log_{10} 5 = \lg 5。$$
    3. 求和：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \lg 2 + \lg 5 = \lg(2 \times 5) = \lg 10 = 1。$$

  • 答案：

    1. $113$
    2. $1$
【题目 2】（中档题：函数图象与性质）

已知函数 $f(x) = \log_a (x+1)$ ($a > 0$ 且 $a \neq 1$) 的定义域和值域都是 $[0, 1]$，求 $a$ 的值。

  • 考查内容：对数函数的定义域、值域、单调性。
  • 易错点：
    1. 忽略对底数 $a$ 的分类讨论（$a > 1$ 或 $0 < a < 1$）。
    2. 搞错复合函数的定义域边界对应关系。
  • 解析过程：
    1. 分析定义域： 题目给出定义域为 $[0, 1]$，即 $0 \le x \le 1$。 此时真数 $x+1$ 的范围是 $1 \le x+1 \le 2$。
    2. 分类讨论单调性：
      • 情形一：当 $a > 1$ 时 函数 $f(x) = \log_a (x+1)$ 在定义域上是单调递增的。 所以，当 $x=0$ 时取得最小值，当 $x=1$ 时取得最大值。 最小值 $f(0) = \log_a 1 = 0$。 最大值 $f(1) = \log_a 2$。 题目已知值域为 $[0, 1]$，所以最大值必须为 1。 即 $\log_a 2 = 1 \Rightarrow a^1 = 2 \Rightarrow a = 2$。 检验：$a=2 > 1$，符合条件。
      • 情形二：当 $0 < a < 1$ 时 函数 $f(x) = \log_a (x+1)$ 在定义域上是单调递减的。 所以，当 $x=0$ 时取得最大值，当 $x=1$ 时取得最小值。 最大值 $f(0) = \log_a 1 = 0$。 但题目要求值域是 $[0, 1]$，最大值应为 1。 这里算出最大值是 0，与题意矛盾（$0 \neq 1$）。 所以此种情况无解。
    3. 结论：综上所述，$a$ 的值只能为 2。
  • 答案：$a = 2$
【题目 3】（难题：幂函数与不等式综合）

已知幂函数 $f(x) = x^{m^2 - 2m - 3}$ ($m \in \mathbb{Z}$) 的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴均无交点，且图象关于 $y$ 轴对称，求 $m$ 的值，并解不等式 $f(x+1) > f(x-2)$。

  • 考查内容：幂函数的图象性质（渐近线、奇偶性）、指数为整数的性质、利用单调性解抽象不等式。
  • 易错点：
    1. “与坐标轴无交点”意味着指数必须为负数（$x$ 在分母上）。
    2. “关于 $y$ 轴对称”意味着函数是偶函数，即指数必须是偶数。
    3. 解不等式时，忽略了幂函数在 $x<0$ 和 $x>0$ 时的单调性差异，或者忽略了定义域。
  • 解析过程：

    1. 确定 $m$ 的值：

      • 条件A：图象与 $x, y$ 轴无交点。 说明 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$。对于幂函数 $y=x^\alpha$，这意味着指数 $\alpha < 0$。 即 $m^2 - 2m - 3 < 0$。 解得：$(m-3)(m+1) < 0 \Rightarrow -1 < m < 3$。 因为 $m \in \mathbb{Z}$，所以 $m$ 可以取 $0, 1, 2$。
      • 条件B：图象关于 $y$ 轴对称。 说明 $f(x)$ 是偶函数。对于幂函数，这意味着指数 $\alpha$ 是偶数。 我们来检验 $m$ 的可能取值：
        • 当 $m=0$ 时，指数 $= 0^2 - 0 - 3 = -3$（奇数），不合题意（奇函数）。
        • 当 $m=1$ 时，指数 $= 1^2 - 2 - 3 = -4$（偶数），符合题意（偶函数）。
        • 当 $m=2$ 时，指数 $= 2^2 - 4 - 3 = -3$（奇数），不合题意（奇函数）。
      • 结论：$m = 1$。此时 $f(x) = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$。

    2. 解不等式 $f(x+1) > f(x-2)$： 即 $\frac{1}{(x+1)^4} > \frac{1}{(x-2)^4}$。

      • 定义域限制：分母不为零，即 $x+1 \neq 0$ 且 $x-2 \neq 0$，所以 $x \neq -1$ 且 $x \neq 2$。
      • 利用偶函数性质和单调性： $f(x) = x^{-4}$ 是偶函数，且在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。 不等式 $f(A) > f(B)$ 等价于 $f(|A|) > f(|B|)$。 因为函数在 $(0, +\infty)$ 递减，所以 $f(|A|) > f(|B|) \iff |A| < |B|$。 故原不等式等价于：$|x+1| < |x-2|$。
      • 解绝对值不等式： 两边平方（因为两边均非负）：$(x+1)^2 < (x-2)^2$ $x^2 + 2x + 1 < x^2 - 4x + 4$ $6x < 3$ $x < \frac{1}{2}$
      • 结合定义域： 解集为 $x < \frac{1}{2}$，且需满足 $x \neq -1$。 所以最终范围是 $(-\infty, -1) \cup (-1, \frac{1}{2})$。
  • 答案：$m=1$；不等式解集为 $(-\infty, -1) \cup (-1, \frac{1}{2})$。

  1. 证明$$\log_a M+\log_a N=\log_a MN；$$$$\log_a M-\log_a N=\log_a \frac{M}{N}。$$ 设 $$\log_a M=x，\log_a N=y；$$ 那么 $$a^x=M，a^y=N。$$ $$∵a^xa^y=a^{x+y}=MN，$$ $$∴\log_a MN=x+y=\log_a M+\log_a N。$$ $$∵a^x \div a^y=a^{x-y}=\frac{M}{N}，$$ $$∴\log_a \frac{M}{N}=x-y=\log_a M-\log_a N。$$

  2. 证明$\log_a a=1$。

    设$$\log_a a=x，则a^x=a。$$ $$∵a=a^1=a^x，$$ $$∴x=1=\log_a a。$$

  3. 证明$\log_a M^x=x\log_a M$。

    由证明（1）可知

    $\log_a M+\log_a M+...+\log_a M$（$x个\log_a M相加$）$=\log_a M^x$， $$∴\log_a M^x=x\log_a M。$$

  4. 证明$$\log_a b=\frac{1}{\log_b a}。$$ 设$$\log_a b=x，\log_b a=y。$$ 那么 $$a^x=b，b^y=a。$$ 由证明（1）可知 $$x=\log_a a+\log_a \frac{b}{a}，$$ 即$$x=\log_a a+\log_a \frac{a^x}{b^y}。$$ 由证明（2）、（3）可知 $$x=1+x\log_a a-y\log_a b=1+x-yx。$$ 即$$xy=1，x=\frac{1}{y}。$$ $$∴\log_b a=\frac{1}{\log_a b}，$$$$\log_a b=\frac{1}{\log_b a}。$$

  5. 证明$b=a^{\log_a b}$。

    设 $$\log_a b=x。$$ $$∵a^x=b，$$ $$∴b=a^x=a^{\log_a b}。$$

  6. 证明$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$。

    设$\log_a b=x$。 $$∵a^x=b，$$ $$∴\frac{\log_c b}{\log_c a}=\frac{\log_c a^x}{\log_c a}。$$ 由证明（3）可知 $$\log_c a^x=x\log_c a，$$ $$∴\frac{\log_c a^x}{\log_c a}=\frac{x\log_c a}{\log_c a}=x，$$ $$∴\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}。$$

  7. 证明$a^x=e^{x\ln a}$。

    设$$a^x=b。$$ 由证明（3）可知 $$x\ln a=\ln a^x=\ln b，$$ $$∴e^{x\ln a}=e^{\ln b}。$$ 由证明（5）可知 $$e^{\ln b}=b，$$ $$∴a^x=e^{x\ln a}。$$

以上证明中，$$a>0，b>0，c>0，a\ne1，b\ne1，c\ne1，M>0，N>0。$$