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- e.g. $P(s) = a_0 + a_1 . s + a_2 . s^2 + ... + a_d . s^d$
- e.g. $a_0,..,a_d \in \mathbb{F}_p$
Block-level
- e.g. $$ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \int_0^{\frac{k}{n}} \frac{e^{-x^2}}{1 + x^2} , dx \right)^{\frac{1}{\Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)}} \right] = \cfrac{\pi}{2 \cdot \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \ddots}}}} $$
- e.g. $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$
因式分解
要对函数 $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ 计算 $f(x_1) - f(x_2)$ 的通分相减，可以按照以下步骤进行：
-
代入函数表达式
首先，根据函数 $f(x)$ 的定义，写出 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 的具体表达式：
$$ f(x_1) = \frac{x_1}{1+x_1^2} $$
$$ f(x_2) = \frac{x_2}{1+x_2^2} $$
-
列出相减算式
将上述两个表达式代入 $f(x_1) - f(x_2)$：
$$ f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{1+x_1^2} - \frac{x_2}{1+x_2^2} $$
-
寻找公分母
要进行通分，需要找到两个分母的公分母。这里的两个分母分别是 $(1+x_1^2)$ 和 $(1+x_2^2)$。因此，公分母是它们的乘积：
$$ \text{公分母} = (1+x_1^2)(1+x_2^2) $$
-
通分
将两个分数化为同分母的分数：
$$ \frac{x_1}{1+x_1^2} = \frac{x_1(1+x_2^2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)} $$
$$ \frac{x_2}{1+x_2^2} = \frac{x_2(1+x_1^2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)} $$
-
合并分子并相减
现在分母相同，可以将分子相减：
$$ f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1(1+x_2^2) - x_2(1+x_1^2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)} $$
-
展开分子
展开分子中的各项：
$$ \text{分子} = x_1 + x_1 x_2^2 - (x_2 + x_2 x_1^2) $$
$$ \text{分子} = x_1 + x_1 x_2^2 - x_2 - x_2 x_1^2 $$
-
整理分子（分组分解）
为了简化分子，我们可以重新排列各项，将含 $x_1, x_2$ 的项分组：
$$ \text{分子} = (x_1 - x_2) + (x_1 x_2^2 - x_2 x_1^2) $$
提取第二组中的公因式 $x_1 x_2$：
$$ x_1 x_2^2 - x_2 x_1^2 = x_1 x_2 (x_2 - x_1) $$
注意这里 $(x_2 - x_1)$ 可以写成 $-(x_1 - x_2)$，所以：
$$ x_1 x_2 (x_2 - x_1) = -x_1 x_2 (x_1 - x_2) $$
将这个结果代回分子表达式：
$$ \text{分子} = (x_1 - x_2) - x_1 x_2 (x_1 - x_2) $$
-
提取公因式 $(x_1 - x_2)$
现在分子的两项都有公因式 $(x_1 - x_2)$，提取它：
$$ \text{分子} = (x_1 - x_2)(1 - x_1 x_2) $$
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写出最终结果
将整理好的分子放回分式中，得到最终结果：
$$ f(x_1) - f(x_2) = \frac{(x_1 - x_2)(1 - x_1 x_2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)} $$
这就是 $f(x_1) - f(x_2)$ 通分相减后的最终化简形式。