Posted on 2026-04-06 :: documentation

2.1 函数

函数 (Function)

设 $A, B$ 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 $f$，使对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应，那么就称 $f: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数。

记作：$y = f(x), x \in A$。函数 $y = f(x)$ 也经常写作函数 $f$ 或函数 $f(x)$。

自变量 (Independent Variable)：$x$
定义域 (Domain)：$x$ 的取值范围 $A$
函数值 (Function Value)：与 $x$ 对应的 $y$ 值，即 $f(x)$。如果自变量取值 $a$，则由法则 $f$ 确定的值 $y$ 称为函数在 $a$ 处的函数值，记作 $y = f(a)$ 或 $y\big|_{x=a}$
值域 (Range)：函数值的集合 $\{f(x) \mid x \in A\}$

检验函数关系的两个要点

定义域和对应关系是否给出
根据给出的对应关系，自变量 $x$ 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值 $y$

映射 (Mapping)

设 $A, B$ 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 $f$，对 $A$ 中的任意一个元素 $x$，在 $B$ 中有一个且仅有一个元素 $y$ 与 $x$ 对应，则称 $f$ 是集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射。

$y$ 称作 $x$ 在映射 $f$ 的作用下的象，记作 $f(x)$，于是 $y = f(x)$
$x$ 称作 $y$ 的原象

映射 $f$ 也可记为：

$$ f: A \rightarrow B, \quad x \rightarrow f(x) $$

其中 $A$ 叫做映射 $f$ 的定义域（函数定义域的推广），由所有象 $f(x)$ 构成的集合叫做映射 $f$ 的值域，通常记作 $f(A)$。

映射是函数概念的推广，函数是特殊的映射（数集到数集）。

区间 (Interval)

设 $a, b$ 是两个实数，且 $a < b$。

区间类型	表示法	集合描述
闭区间	$[a, b]$	$\{x \mid a \le x \le b\}$
开区间	$(a, b)$	$\{x \mid a < x < b\}$
半开半闭区间	$[a, b)$ 或 $(a, b]$	—
无穷区间	$(-\infty, +\infty); [a, +\infty)$ 等	—

函数的表示方法

列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法
图象法：用图象表示函数关系的方法。将函数 $y = f(x) \quad (x \in A)$ 定义域内的每一个 $x$ 值对应的唯一 $y$ 值构成的有序实数对 $(x, y)$ 作为点 $P$ 的坐标，则所有这些点的集合 $F$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的图象：

$$ F = \{P(x,y) \mid y = f(x), x \in A\} $$
解析法：如果在函数 $y = f(x)\quad(x \in A)$ 中，$f(x)$ 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法）

分段函数 (Piecewise Function)

在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数。

注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数。

单调性 (Monotonicity)

增函数 (Increasing Function)：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内某个区间 $D$ 上的任意两个自变量的值 $x_1, x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，那么就说函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上是增函数
减函数 (Decreasing Function)：类似地，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则为减函数
单调区间：如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $D$ 上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间 $D$ 叫做 $y = f(x)$ 的单调区间

平均变化率

函数 $y = f(x)$ 从 $x_1$ 到 $x_2$ 之间的因变量 $y$ 的改变量 $y_2 - y_1$ 与自变量 $x$ 改变量 $x_2 - x_1$ 的比：

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

最大值与最小值 (Maximum and Minimum)

最大值：设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $I$，如果存在实数 $M$ 满足：
1. 对于任意的 $x \in I$，都有 $f(x) \le M$
2. 存在 $x_0 \in I$，使得 $f(x_0) = M$
那么 $M$ 是函数的最大值
最小值：类似定义，需满足 $f(x) \ge M$ 且存在 $x_0$ 使 $f(x_0) = M$

奇偶性 (Parity)

偶函数 (Even Function)：如果对于函数 $f(x)$ 的定义域内任意一个 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做偶函数

偶函数图象关于 $y$ 轴对称
奇函数 (Odd Function)：如果对于函数 $f(x)$ 的定义域内任意一个 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做奇函数

奇函数图象关于原点对称

2.2 一次函数和二次函数

一次函数

一次函数（也称线性函数）形如：

$$ y = kx + b \quad (k \neq 0) $$

它的定义域与值域均为 $\mathbf{R}$。

图象与参数

一次函数的图象是一条直线（以后简写为直线 $y = kx + b$）
$k$：叫做该直线的斜率
$b$：叫做该直线在 $y$ 轴上的截距

斜率与变化率

在直线 $y = kx + b$ 上任取两点 $P(x_1, y_1)$、$Q(x_2, y_2)$，代入方程得：

$$ \begin{cases} y_1 = kx_1 + b \\ y_2 = kx_2 + b \end{cases} $$

两式相减，得：

$$ y_2 - y_1 = k(x_2 - x_1) $$

即：

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = k \quad (x_2 \neq x_1) $$

或写作 $\Delta y = k \Delta x$。

结论：一次函数的平均变化率为常数 $k$。即对任意点 $x_1$，相应函数值的改变量与自变量的改变量成正比。$k$ 的大小表示直线与 $x$ 轴的倾斜程度。

单调性

当 $k > 0$ 时，一次函数是增函数
当 $k < 0$ 时，一次函数是减函数

奇偶性

当 $b = 0$ 时，一次函数变为正比例函数 $y = kx$，它是奇函数
当 $b \neq 0$ 时，它既不是奇函数，也不是偶函数

二次函数

二次函数形如：

$$ y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) $$

它的定义域是 $\mathbf{R}$。

特殊形式

特别地，当 $b = c = 0$ 时，二次函数形式变为：

$$ y = ax^2 \quad (a \neq 0) $$

此时：

图象是一条顶点为原点的抛物线
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上
当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下
该函数为偶函数，$y$ 轴为图象的对称轴

当 $x$ 的绝对值无限变小时，函数值的绝对值也随之无限变小，图象从 $x$ 轴上方（或下方）无限逼近 $x$ 轴。

一般形式的配方法

对任意二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），通过配方法可化为：

$$ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} = a(x - h)^2 + k $$

其中：

$$ h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a} $$

二次函数的性质

图象：是一条抛物线，顶点坐标为 $(h, k)$，对称轴为直线 $x = h$
当 $a > 0$ 时：
- 抛物线开口向上
- 函数在 $x = h$ 处取最小值 $y_{\text{min}} = k = f(h)$
- 在区间 $(-\infty, h]$ 上是减函数，在 $[h, +\infty)$ 上是增函数
当 $a < 0$ 时：
- 抛物线开口向下
- 函数在 $x = h$ 处取最大值 $y_{\text{max}} = k = f(h)$
- 在区间 $(-\infty, h]$ 上是增函数，在 $[h, +\infty)$ 上是减函数