函数
映射与函数
映射 (Mapping)
设 $A, B$ 是两个非空集合。若按照对应关系 $f$，对 $A$ 中任意元素 $x$，在 $B$ 中都有唯一元素 $y$ 与之对应，则称 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的映射。
记作：
$$ f: A \to B, \quad x \mapsto f(x) $$
- $y$ 称为 $x$ 的象，记作 $f(x)$。
- $x$ 称为 $y$ 的原象。
- $A$ 称为映射的定义域，$\{f(x) \mid x \in A\}$ 称为值域，记作 $f(A)$。
函数是特殊的映射（数集到数集）。
注：有关映射这一概念的准确表述，请参阅：映射。
函数 (Function)
设 $A, B$ 是非空数集。若按照确定的对应关系 $f$，对 $A$ 中任意一个数 $x$，在 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 与之对应，则称 $f: A \to B$ 为从 $A$ 到 $B$ 的一个函数。
记作：$y = f(x), x \in A$。
函数 $y = f(x)$ 也经常写作函数 $f$ 或函数 $f(x)$。
| 术语 | 含义 |
|---|---|
| 自变量 | $x$ |
| 定义域 | $x$ 的取值范围 $A$ |
| 函数值 | 与 $x$ 对应的 $y$ 值，即 $f(x)$ |
| 值域 | 函数值的集合 $\{f(x) \mid x \in A\}$ |
若自变量 $x$ 取值 $a$，则由法则 $f$ 确定的值 $y$ 称为函数在 $a$ 处的函数值，记作 $y = f(a)$ 或 $y\big|_{x=a}$。
函数关系的判定
- 定义域与对应关系是否明确。
- 定义域内每个 $x$ 是否对应唯一的 $y$。
区间
设 $a, b \in \mathbb{R}$ 且 $a < b$。
| 类型 | 记号 | 集合表示 |
|---|---|---|
| 闭区间 | $[a, b]$ | $\{x \mid a \le x \le b\}$ |
| 开区间 | $(a, b)$ | $\{x \mid a < x < b\}$ |
| 半开半闭区间 | $[a, b)$ | $\{x \mid a \le x < b\}$ |
| $(a, b]$ | $\{x \mid a < x \le b\}$ | |
| 无穷区间 | $(-\infty, +\infty)$，$[a, +\infty)$ 等 | — |
函数的表示方法
函数的表示方法
| 方法 | 说明 |
|---|---|
| 列表法 | 列表给出自变量与函数值的对应关系。 |
| 图象法 | 有序数对构成的点集 $\{P(x,y) \mid y = f(x), x \in A\}$ 称为函数图象。 |
| 解析法 | 用代数式（解析式）表达 $f(x)$。 |
分段函数
在定义域的不同部分对应关系不同。
分段函数是一个函数，不是多个函数。
单调性 (Monotonicity)
设函数 $f(x)$ 定义域为 $I$，区间 $D \subseteq I$。
| 类型 | 条件（$\forall x_1, x_2 \in D$，$x_1 < x_2$） |
|---|---|
| 增函数 | $f(x_1) < f(x_2)$ |
| 减函数 | $f(x_1) > f(x_2)$ |
若 $f$ 在 $D$ 上为增函数或减函数，则称 $f$ 在 $D$ 上具有单调性，$D$ 称为单调区间。
平均变化率
$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $$
最大值与最小值 (Maximum and Minimum)
设函数 $y = f(x)$ 定义域为 $I$，实数 $M$。
| 类型 | 条件 |
|---|---|
| 最大值 | $\forall x \in I$，$f(x) \le M$，且 $\exists x_0 \in I$，$f(x_0) = M$ |
| 最小值 | $\forall x \in I$，$f(x) \ge M$，且 $\exists x_0 \in I$，$f(x_0) = M$ |
奇偶性 (Parity)
设函数 $f(x)$ 定义域关于原点对称。
| 类型 | 条件 | 图象对称性 |
|---|---|---|
| 偶函数 | $f(-x) = f(x)$ | 关于 $y$ 轴对称 |
| 奇函数 | $f(-x) = -f(x)$ | 关于原点对称 |
一次函数和二次函数
一次函数
形如 $y = kx + b$（$k \neq 0$），定义域、值域均为 $\mathbb{R}$。
- 图象为直线，$k$ 称为斜率，$b$ 称为 $y$ 轴上的截距。
- 平均变化率恒为 $k$：$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = k$。
| $k$ 符号 | 单调性 | 奇偶性 |
|---|---|---|
| $k > 0$ | 增函数 | |
| $k < 0$ | 减函数 | |
| $b = 0$（正比例函数 $y=kx$） | 奇函数 | |
| $b \neq 0$ | 非奇非偶 |
二次函数
形如 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），定义域为 $\mathbb{R}$。
配方法
$$ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} = a(x - h)^2 + k $$
其中
$$ h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a} $$
性质
| $a$ 符号 | 开口方向 | 顶点 $(h,k)$ | 最值 | 单调性 |
|---|---|---|---|---|
| $a > 0$ | 向上 | 最小值点 | $y_{\min} = k$ | 在 $(-\infty, h]$ 减，$[h, +\infty)$ 增 |
| $a < 0$ | 向下 | 最大值点 | $y_{\max} = k$ | 在 $(-\infty, h]$ 增，$[h, +\infty)$ 减 |
- 对称轴：$x = h$。
- 当 $b = c = 0$ 时，$y = ax^2$ 为偶函数，顶点在原点。
待定系数法
若已知函数的一般形式，先设出含待定系数的解析式，再根据条件求出系数。
函数的应用
数学建模的基本过程
- 审题：明确已知与目标。
- 建模：抽象为数学问题，建立函数模型。
- 求解：用数学方法求解。
- 还原：将数学结果解释为实际问题的解并检验。
拟合 (Fitting)
根据数据散点图选择最接近的函数模型近似描述变量关系的过程。
函数与方程
函数的零点
若 $f(a) = 0$，则 $a$ 称为函数 $y = f(x)$ 的零点。
几何意义：图象与 $x$ 轴交点为 $(a, 0)$。
二次函数零点的性质
- 图象通过零点且穿过 $x$ 轴时，函数值变号。
- 两个零点将 $x$ 轴分为三个区间。
零点存在性定理
若 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上图象连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则在 $(a, b)$ 内至少存在一个零点 $x_0$，使 $f(x_0) = 0$。
变号零点：图象通过时穿过 $x$ 轴。
不变号零点：图象通过时不穿过 $x$ 轴。
二分法求零点近似解
依据：零点存在性定理。
适用情形：五次及以上的多项式方程无一般求根公式（阿贝尔-鲁菲尼定理）。
步骤
- 取区间 $[a_0, b_0]$，使 $f(a_0) \cdot f(b_0) < 0$。
- 取中点 $x_0 = \dfrac{a_0 + b_0}{2}$，计算 $f(x_0)$：
- 若 $f(x_0) = 0$，则 $x_0$ 为零点，终止。
- 若 $f(a_0) \cdot f(x_0) < 0$，则零点在 $[a_0, x_0]$，令 $a_1 = a_0$，$b_1 = x_0$。
- 若 $f(a_0) \cdot f(x_0) > 0$，则零点在 $[x_0, b_0]$，令 $a_1 = x_0$，$b_1 = b_0$。
- 重复上述步骤，得到区间列 $[a_n, b_n]$。
- 当 $a_n$ 与 $b_n$ 按给定精确度取的近似值相同时，该值即为零点的近似解。