$$ \begin{aligned} (\sqrt[3]{2} \times \sqrt{3})^6 &= (2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}})^6 = 2^{2} \times 3^{3} = 4 \times 27 = 108, \ \log_3 27 &= \log_3 3^3 = 3, \ \lg 25 + \lg 4 &= \lg(25 \times 4) = \lg 100 = 2, \end{aligned} $$

相加得 $108 + 3 + 2 = 113$。

第2小题 由 $2^a = 10$ 得 $a = \log_2 10$，故 $\dfrac{1}{a} = \log_{10} 2 = \lg 2$。由 $5^b = 10$ 得 $b = \log_5 10$，故 $\dfrac{1}{b} = \log_{10} 5 = \lg 5$。因此 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1$。

答案：

$113$；
$1$。

题目2：函数图象与性质（中档题）

已知函数 $f(x) = \log_a (x+1)$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的定义域和值域都是 $[0, 1]$，求 $a$ 的值。

考查内容：对数函数的定义域、值域、单调性。

易错点：

忽略对底数 $a$ 的分类讨论（$a > 1$ 或 $0 < a < 1$）。
搞错复合函数的定义域边界对应关系。

解析：

由定义域 $[0, 1]$ 得 $x \in [0, 1]$，此时 $x+1 \in [1, 2]$。

当 $a > 1$ 时，$f(x) = \log_a (x+1)$ 单调递增。最小值 $f(0) = \log_a 1 = 0$，最大值 $f(1) = \log_a 2$。由值域 $[0, 1]$ 得 $\log_a 2 = 1$，解得 $a = 2$。
当 $0 < a < 1$ 时，$f(x)$ 单调递减。最大值 $f(0) = 0$，与值域 $[0, 1]$ 中最大值为 $1$ 矛盾，无解。

答案：$a = 2$。

题目3：幂函数与不等式综合（难题）

已知幂函数 $f(x) = x^{m^2 - 2m - 3}$（$m \in \mathbb{Z}$）的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴均无交点，且图象关于 $y$ 轴对称，求 $m$ 的值，并解不等式 $f(x+1) > f(x-2)$。

考查内容：幂函数的图象性质（渐近线、奇偶性）、利用单调性解抽象不等式。

易错点：

“与坐标轴无交点”意味着指数为负数。
“关于 $y$ 轴对称”意味着函数为偶函数，即指数为偶数。
解不等式时忽略定义域或 $x<0$ 时的单调性差异。

解析：

1. 求 $m$ 的值

图象与 $x$ 轴、$y$ 轴无交点 $\Rightarrow$ 指数 $\alpha < 0$，即

$$ m^2 - 2m - 3 < 0 \quad\Rightarrow\quad (m-3)(m+1) < 0 \quad\Rightarrow\quad -1 < m < 3. $$

由 $m \in \mathbb{Z}$ 得 $m = 0, 1, 2$。

图象关于 $y$ 轴对称 $\Rightarrow$ $f(x)$ 为偶函数 $\Rightarrow$ 指数 $\alpha$ 为偶数。

$m = 0$：$\alpha = -3$（奇数，舍去）；
$m = 1$：$\alpha = 1 - 2 - 3 = -4$（偶数，符合）；
$m = 2$：$\alpha = 4 - 4 - 3 = -3$（奇数，舍去）。

故 $m = 1$，$f(x) = x^{-4} = \dfrac{1}{x^4}$。

2. 解不等式 $f(x+1) > f(x-2)$

即 $\dfrac{1}{(x+1)^4} > \dfrac{1}{(x-2)^4}$。

定义域要求 $x \neq -1$ 且 $x \neq 2$。

$f(x) = x^{-4}$ 为偶函数，且在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。故

$$ f(x+1) > f(x-2) ;\Longleftrightarrow; f(|x+1|) > f(|x-2|) ;\Longleftrightarrow; |x+1| < |x-2|. $$

两边平方（非负）得 $(x+1)^2 < (x-2)^2$，展开得 $x^2 + 2x + 1 < x^2 - 4x + 4$，即 $6x < 3$，解得 $x < \dfrac{1}{2}$。

结合定义域得解集为 $(-\infty, -1) \cup \left(-1, \dfrac{1}{2}\right)$。

答案：$m = 1$；解集为 $(-\infty, -1) \cup \left(-1, \dfrac{1}{2}\right)$。

题目4：对数运算的“定义域陷阱”

化简表达式 $\log_2 (x^2)$。是直接等于 $2\log_2 x$ 吗？如果不是，正确的化简结果是什么？

考查点：对数定义域与偶次幂的性质。

解析：$\log_2 (x^2)$ 有意义需 $x^2 > 0$，即 $x \neq 0$。当 $x > 0$ 时，$\log_2 (x^2) = 2\log_2 x$；当 $x < 0$ 时，$\log_2 (x^2) = 2\log_2 (-x)$。

答案：不是；正确结果为 $\begin{cases} 2\log_2 x, & x > 0 \ 2\log_2 (-x), & x < 0 \end{cases}$。

题目5：指数与对数的互化

已知 $2^x = 3$，$\log_4 \dfrac{8}{3} = y$。求 $x + 2y$ 的值。

考查点：指数式与对数式的互化，换底公式的应用。

解析：

解法一：由 $2^x = 3$ 得 $x = \log_2 3$。由换底公式，

$$ y = \log_4 \frac{8}{3} = \frac{\log_2 \frac{8}{3}}{\log_2 4} = \frac{\log_2 \frac{8}{3}}{2} \quad\Rightarrow\quad 2y = \log_2 \frac{8}{3}. $$

于是 $x + 2y = \log_2 3 + \log_2 \dfrac{8}{3} = \log_2 8 = 3$。

解法二：$x = \log_2 3 = \dfrac{\log_4 3}{\log_4 2} = 2\log_4 3 = \log_4 9$，$2y = 2\log_4 \dfrac{8}{3} = \log_4 \left(\dfrac{8}{3}\right)^2$，相加化简同样得 $3$。

答案：$3$。

题目6：幂、指、对函数的大小比较

设 $a = 0.3^2$，$b = 2^{0.3}$，$c = \log_2 0.3$。将 $a, b, c$ 按从大到小排序。

考查点：利用中间值 “$0$” 和 “$1$”，结合函数单调性比较大小。

解析：

$a = 0.3^2 = 0.09$，故 $0 < a < 1$。
$b = 2^{0.3} > 2^0 = 1$，且 $2^{0.3} < 2^1 = 2$，故 $1 < b < 2$。
$c = \log_2 0.3 < \log_2 1 = 0$，故 $c < 0$。

因此 $b > a > c$。

答案：$b > a > c$。

题目7：复合函数的单调性

求函数 $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 2x)$ 的单调递减区间。

考查点：“同增异减”原则与定义域优先原则。

解析：

定义域：$x^2 - 2x > 0 \Rightarrow x(x-2) > 0 \Rightarrow x < 0$ 或 $x > 2$。

令 $u = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$，则 $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} u$。底数 $\dfrac{1}{2} \in (0, 1)$，故对数函数在 $u > 0$ 上单调递减。

由“同增异减”，$f(x)$ 的单调递减区间对应 $u$ 的单调递增区间（减 $\circ$ 增 $=$ 减）。

$u = x^2 - 2x$ 在 $(1, +\infty)$ 上单调递增，与定义域取交集得 $(2, +\infty)$。

在 $(-\infty, 0)$ 上 $u$ 单调递减，此时 $f(x)$ 单调递增（减 $\circ$ 减 $=$ 增），不符合要求。

答案：单调递减区间为 $(2, +\infty)$。

若使用定义法推导，过程冗长。用“同增异减”原则简化，结果一致。

题目8：反函数与对称性

已知函数 $f(x) = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）的图像经过点 $(2, 4)$。

求 $f(x)$ 的解析式；
若 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，求 $g(8)$ 的值。

考查点：待定系数法求解析式及反函数定义的应用。

解析：

将点 $(2, 4)$ 代入 $f(x) = a^x$，得 $a^2 = 4$，故 $a = 2$（$a > 0$），$f(x) = 2^x$。
$g(x) = \log_2 x$，则 $g(8) = \log_2 8 = 3$。

答案：$f(x) = 2^x$；$g(8) = 3$。

根据反函数定义，函数 $f(x)$ 与 $f^{-1}(x)$ 满足 $f(f^{-1}(x)) = x$ 且 $f^{-1}(f(x)) = x$。

但由于所有指数函数的反函数都是对数函数，反之亦然；因此求出 $g(8)$ 的值后不必再验证 $g(x)$ 是否是 $f(x)$ 的反函数。

题目9：二次函数与指数函数的复合（难点）

关于 $x$ 的方程 $4^x - 2^{x+1} - m = 0$ 有实数解，求实数 $m$ 的取值范围。

考查点：换元法将超越方程转化为二次函数值域问题。

解析：

令 $t = 2^x$，则 $t > 0$。原方程化为

$$ t^2 - 2t - m = 0 \quad\Rightarrow\quad m = t^2 - 2t = (t-1)^2 - 1. $$

当 $t > 0$ 时，$(t-1)^2 - 1$ 的取值范围为 $[-1, +\infty)$（$t=1$ 时取最小值 $-1$，$t \to 0^+$ 时取值 $0$，$t \to +\infty$ 时趋于 $+\infty$）。

故方程有实数解等价于 $m \ge -1$。

答案：$m \in [-1, +\infty)$。

若采用判别式法并讨论根的分布，则略显繁琐。用分离参数法结合二次函数值域，更简洁。