平面解析几何初步

数轴上的基本概念与公式

数轴与点的坐标

设一条直线规定了原点、度量单位和正方向，称为数轴。实数集与数轴上的点之间建立一一对应关系：若点 $P$ 与实数 $x$ 对应，则称点 $P$ 的坐标为 $x$，记作 $P(x)$。

向量的坐标表示

从点 $A$ 到点 $B$ 的位移记为向量 $\overrightarrow{AB}$，其中 $A$ 为起点，$B$ 为终点。线段 $AB$ 的长度称为向量的长度，记作 $|\overrightarrow{AB}|$。

定义（轴上向量的坐标）
设 $\overrightarrow{AB}$ 是数轴上的向量，其坐标 $AB$ 是一个实数：

• 绝对值 $|AB| = |\overrightarrow{AB}|$；
• 若方向与轴正向相同，则 $AB > 0$；反之 $AB < 0$。

零向量的坐标为 $0$。

性质

• $AB = -BA$，$AB + BA = 0$。
• 两向量相等 $\Leftrightarrow$ 它们的坐标相等。

向量加法
对轴上任意三点 $A, B, C$，有

$$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}, $$

对应的坐标关系为

$$ AC = AB + BC. \tag{1} $$

数轴上两点距离公式

设数轴上点 $A(x_1)$，$B(x_2)$，则向量坐标

$$ AB = x_2 - x_1, $$

两点间距离

$$ d(A, B) = |AB| = |x_2 - x_1|. \tag{2} $$

平面直角坐标系中的基本公式

两点间距离公式

定理（两点间距离）
在平面直角坐标系中，设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则

$$ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \tag{3} $$

推论（点到原点距离）

$$ d(O, A) = \sqrt{x^2 + y^2}. $$

中点公式

定理（中点坐标）
设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，线段 $AB$ 的中点 $M(x, y)$ 满足

$$ x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2}. \tag{4} $$

直线的方程

直线方程的概念

若一个方程的解对应的点都在某条直线上，且直线上所有点的坐标都满足该方程，则称此方程为直线的方程，该直线为方程的直线。

形如 $y = kx + b$（$k \neq 0$ 或 $k = 0$）的方程表示一条直线。

直线的斜率

定义（斜率）
设直线 $l$ 上两点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$ 且 $x_1 \neq x_2$，则直线 $l$ 的斜率

$$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \quad (\Delta x \neq 0). \tag{5} $$

倾斜角
$x$ 轴正向与直线向上方向所成的角称为直线的倾斜角，范围 $[0^\circ, 180^\circ)$。与 $x$ 轴平行或重合时倾斜角为 $0^\circ$。

直线方程的几种形式

两条直线的位置关系

设直线

$$ l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0, \quad l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0. $$

定理（相交、平行、重合的条件）

若直线写成斜截式 $l_1: y = k_1x + b_1$，$l_2: y = k_2x + b_2$，则

• $l_1 \parallel l_2 \iff k_1 = k_2$ 且 $b_1 \neq b_2$；
• $l_1$ 与 $l_2$ 重合 $\iff k_1 = k_2$ 且 $b_1 = b_2$。

定理（垂直的条件）

$$ l_1 \perp l_2 \iff A_1A_2 + B_1B_2 = 0. $$

若 $B_1B_2 \neq 0$，则

$$ l_1 \perp l_2 \iff k_1 k_2 = -1. $$

点到直线的距离

定理（距离公式）
点 $P(x_1, y_1)$ 到直线 $l: Ax + By + C = 0$ 的距离为

$$ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. \tag{6} $$

圆的方程

圆的标准方程

圆心 $C(a, b)$，半径 $r$ 的圆方程为

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. \tag{7} $$

特别地，圆心在原点时：

$$ x^2 + y^2 = r^2. $$

点与圆的位置关系
设点 $M(x_0, y_0)$：

• 在圆上 $\iff (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$；
• 在圆外 $\iff (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 > r^2$；
• 在圆内 $\iff (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 < r^2$。

圆的一般方程

将标准方程展开并令 $D = -2a$，$E = -2b$，$F = a^2 + b^2 - r^2$，得

$$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. \tag{8} $$

定理（一般方程表示圆的条件）
方程 (8) 表示圆的充要条件是 $D^2 + E^2 - 4F > 0$，此时圆心为 $\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$，半径 $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$。

• 若 $D^2 + E^2 - 4F = 0$，表示一个点；
• 若 $D^2 + E^2 - 4F < 0$，不表示任何图形。

直线与圆的位置关系

设圆心到直线的距离为 $d$，圆半径为 $r$。

弦长公式
直线与圆相交时，弦长

$$ |AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}. \tag{9} $$

圆与圆的位置关系

设 $\odot O_1$ 半径 $r_1$，$\odot O_2$ 半径 $r_2$，圆心距 $d = |O_1O_2|$。

| 位置关系 | 条件 | | -------- | --------------- | --------- | ---------------- | | 外离 | $d > r_1 + r_2$ | | 外切 | $d = r_1 + r_2$ | | 相交 | $ | r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2$ | | 内切 | $d = | r_1 - r_2 | $ | | 内含 | $d < | r_1 - r_2 | $ |

空间直角坐标系

空间直角坐标系的建立

过原点 $O$ 作三条两两垂直的数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，构成空间直角坐标系 $Oxyz$。空间任意一点 $P$ 与唯一有序实数组 $(x, y, z)$ 对应，记作 $P(x, y, z)$。

坐标平面

• $xOy$ 平面：形如 $(x, y, 0)$ 的点集；
• $xOz$ 平面：形如 $(x, 0, z)$ 的点集；
• $yOz$ 平面：形如 $(0, y, z)$ 的点集。

卦限
三个坐标平面将空间分为八个卦限。

空间两点距离公式

定理
设 $A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$，则

$$ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. \tag{10} $$

推论（点到原点距离）

$$ d(O, A) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. $$