1.1 集合与集合的表示方法
集合 (Set)：指定的某些对象的全体。集合中的元素必须是确定的、互异的、无序的。通常用大写字母 $A, B, C$ 等表示。
元素 (Element)：集合中的每一个对象。通常用小写字母 $a, b, c$ 等表示。
属于 (Belong to)：如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，记作 $a \in A$。
不属于 (Not belong to)：如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，记作 $a \notin A$。
常用数集
- 自然数集：$\mathbb{N}$（包含 $0$）
- 正整数集：$\mathbb{N}^*$ 或 $\mathbb{N}_+$
- 整数集：$\mathbb{Z}$
- 有理数集：$\mathbb{Q}$
- 素数集：$\mathbb{P}$
- 实数集：$\mathbb{R}$
- 复数集：$\mathbb{C}$
以上数集皆为无限集。
列举法 (Roster Method)
把集合的元素一一列举，并用花括号 { } 括起来表示集合。例如：
- $\{ 1, 2, 3\}$
- $\{ -5, -7, -9, \dots, -99\}$
- $\{ 2, 4, 6, \dots, n, \dots\}$
描述法 (Set-builder Notation)
即特征性质描述法。用集合所含元素的共同特征表示集合。格式为 $\{ x \in I \mid p(x)\}$，其中 $x$ 代表元素，$p(x)$ 是元素满足的条件。当不致发生误解时，$x$ 的取值集合可省略，“$\in I$”可不写。
例如：
$$ \{ (x, y) \mid 2x + 3y = 0, x \in \mathbb{Z}\} $$
1.2 集合之间的关系与运算
子集 (Subset)
对于两个集合 $A, B$，如果集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 中的元素，称集合 $A$ 为集合 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$（或 $B \supseteq A$）。
设 $A = \{ x \mid p(x)\}$，$B = \{ x \mid q(x)\}$。如果 $A \subseteq B$，则
$$ p(x) \Rightarrow q(x) $$
如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则
$$ A = B \Leftrightarrow p(x) \Leftrightarrow q(x) $$
真子集 (Proper Subset)
如果 $A \subseteq B$，但存在元素 $x \in B$ 且 $x \notin A$，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $A \subsetneq B$。
空集 (Empty Set)
不含任何元素的集合，记作 $\emptyset$。规定：空集是任何集合的子集。
基数与幂集
通常，有限集合 $S$ 的元素个数用 $\mathrm{card}(S)$ 或 $|S|$ 表示，称作集合 $S$ 的基数 (cardinality)。
若 $|S| = n$，那么 $S$ 的幂集 (Power Set) $\mathcal{P}(S)$ 的基数（即 $S$ 的所有子集的总数）等于 $2^n$。
当 $S = \emptyset$ 时，$|S| = 0$，$\mathcal{P}(S) = 2^0 = 1$。
Venn 图
用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合 (图(1))，用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系，这种图形通常叫做 Venn 图。
如果集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，那么就把表示 $A$ 的区域画在表示 $B$ 的区域的内部 (图(2))。
并集 (Union)
由所有属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的元素组成的集合：
$$ A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} $$
交集 (Intersection)
由属于集合 $A$ 且属于集合 $B$ 的所有元素组成的集合：
$$ A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} $$
如果 $A \subseteq B$，则 $A \cap B = A$。
对于 $A, B$ 任意两个有限集，有：
$$ \mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) - \mathrm{card}(A \cap B) $$
补集 (Complement)
对于一个集合 $A$，由全集 $U$ 中不属于集合 $A$ 的所有元素组成的集合，称为集合 $A$ 相对于全集 $U$ 的补集：
$$ \complement_U A = \{ x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\} $$
对于任意集合 $A$，有 $\complement_U (\complement_U A) = A$。
全集通常用矩形区域表示。全集与它的任意一个真子集之间的关系，可用 Venn 图表示，如下图。
