二次方程判别式

1. 定义

对于一元二次方程

$$ ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0), $$

称 $\Delta = b^2 - 4ac$ 为方程的判别式，其中 $\Delta$ 为希腊字母 Delta。

2. 推导（配方法）

$$ \begin{aligned} ax^2 + bx + c &= 0 \\ ax^2 + bx &= -c \\ x^2 + \frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \\ &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}. \end{aligned} $$

3. 性质

在等式 $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ 中：

• 分母 $4a^2 > 0$ 恒成立；
• 右侧分式的符号由分子 $b^2 - 4ac$ 唯一决定，从而决定了方程实数解的存在性与个数。