函数习题
题目1：函数的定义域（中档题）
求函数 $f(x) = \sqrt{x-2} + \dfrac{1}{x-3}$ 的定义域。
考查内容：函数定义域的求解规则，涉及偶次根式和分式的限制条件。
易错点：
- 只考虑根号下非负，忽略分母不为零。
- 只考虑分母不为零，忽略根号限制。
- 最终结果未取“交集”，错误地取了“并集”。
- 端点 $2$ 能否取到判断失误（$\ge 0$ 可取，$\neq 0$ 不可取）。
解析：
函数有意义需满足：
$$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \quad &(\text{偶次根式被开方数非负})\\ x - 3 \neq 0 \quad &(\text{分母不为零})\ \end{cases} $$
解得 $x \ge 2$ 且 $x \neq 3$。
答案：$\{x \mid x \ge 2 \text{ 且 } x \neq 3\}$（或 $[2, 3) \cup (3, +\infty)$）。
题目2：函数解析式与值域
已知 $f(x)$ 是一次函数，且满足 $f(f(x)) = 4x + 3$。
- 求 $f(x)$ 的解析式；
- 求 $f(x)$ 在区间 $[-1, 2]$ 上的值域。
考查内容：函数的复合运算、待定系数法、值域求解。
易错点：待定系数时注意对应所有项的系数（包括常数项）；值域求解需结合单调性。
解析：
1. 求解析式
设 $f(x) = ax + b$，则
$$ f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2 x + ab + b = 4x + 3. $$
比较系数得
$$ \begin{cases} a^2 = 4, \ ab + b = 3. \end{cases} $$
- 当 $a = 2$ 时，代入得 $2b + b = 3$，解得 $b = 1$，此时 $f(x) = 2x + 1$。
- 当 $a = -2$ 时，代入得 $-2b + b = 3$，解得 $b = -3$，此时 $f(x) = -2x - 3$。
2. 求值域
- 对于 $f(x) = 2x + 1$，在 $[-1, 2]$ 上单调递增，最小值为 $f(-1) = -1$，最大值为 $f(2) = 5$，值域为 $[-1, 5]$。
- 对于 $f(x) = -2x - 3$，在 $[-1, 2]$ 上单调递减，最小值为 $f(2) = -7$，最大值为 $f(-1) = -1$，值域为 $[-7, -1]$。
两个解析式对应不同的值域，不能合并。
答案：$f(x) = 2x + 1$ 或 $f(x) = -2x - 3$；对应的值域分别为 $[-1, 5]$ 和 $[-7, -1]$。
题目3：函数性质的综合应用（难题）
已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上单调递增，且 $f(2) = 3$。若实数 $a$ 满足 $f(a^2 - a) < 3$，求实数 $a$ 的取值范围。
考查内容：函数的奇偶性、单调性的综合应用，抽象函数不等式的求解，一元二次不等式的解法。
易错点：
- 无法利用奇函数性质推导整个定义域上的单调性（误以为只在正半轴递增）。
- 不能将常数 $3$ 转化为函数值 $f(2)$ 从而去掉函数符号 $f$。
- 解一元二次不等式时，因式分解错误或区间判断反了。
解析：
1. 转化不等式右边
由 $f(2) = 3$，原不等式化为 $f(a^2 - a) < f(2)$。
2. 分析函数的单调性
$f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且在 $[0, +\infty)$ 上单调递增。根据奇函数在对称区间上单调性相同的性质，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上也单调递增。因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
3. 去掉函数符号
由单调递增得 $a^2 - a < 2$，即 $a^2 - a - 2 < 0$。
4. 解一元二次不等式
因式分解得 $(a - 2)(a + 1) < 0$，解得 $-1 < a < 2$。
答案：$\{a \mid -1 < a < 2\}$（或 $(-1, 2)$）。
题目4：函数性质综合
已知函数 $f(x) = \dfrac{ax + b}{1 + x^2}$ 是定义在 $(-1, 1)$ 上的奇函数，且 $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2}{5}$。
- 确定函数 $f(x)$ 的解析式；
- 用定义证明 $f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上是增函数；
- 解不等式 $f(t-1) + f(t) < 0$。
解析：
1. 求解析式
由奇函数性质 $f(0) = 0$，代入得 $b = 0$。再代入 $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2}{5}$：
$$ \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{a}{2}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2a}{5} = \frac{2}{5}, $$
解得 $a = 1$。故
$$ f(x) = \frac{x}{1 + x^2}. $$
2. 证明单调性
任取 $x_1, x_2 \in (-1, 1)$，且 $x_1 < x_2$，则
$$ \begin{aligned} f(x_1) - f(x_2) &= \frac{x_1}{1 + x_1^2} - \frac{x_2}{1 + x_2^2} \\ &= \frac{x_1(1 + x_2^2) - x_2(1 + x_1^2)}{(1 + x_1^2)(1 + x_2^2)} \\ &= \frac{x_1 - x_2 + x_1 x_2^2 - x_2 x_1^2}{(1 + x_1^2)(1 + x_2^2)} \\ &= \frac{(x_1 - x_2)(1 - x_1 x_2)}{(1 + x_1^2)(1 + x_2^2)}. \end{aligned} $$
(注：有关此步骤计算过程，请参阅：因式分解例题)
分母 $(1 + x_1^2)(1 + x_2^2) > 0$。
分子中 $x_1 - x_2 < 0$，且由 $x_1, x_2 \in (-1, 1)$ 得 $|x_1 x_2| < 1$，故 $1 - x_1 x_2 > 0$。
因此 $f(x_1) - f(x_2) < 0$，即 $f(x_1) < f(x_2)$，$f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上单调递增。
3. 解不等式
由奇函数得 $-f(t) = f(-t)$，原不等式化为
$$ f(t-1) < -f(t) = f(-t). $$
由单调性得 $t-1 < -t$，解得 $t < \dfrac{1}{2}$。
同时需保证自变量在定义域内：
$$ \begin{cases} -1 < t-1 < 1 \implies 0 < t < 2, \\ -1 < -t < 1 \implies -1 < t < 1. \end{cases} $$
取交集得 $0 < t < 1$。
结合 $t < \dfrac{1}{2}$，得 $0 < t < \dfrac{1}{2}$。
答案：
- $f(x) = \dfrac{x}{1 + x^2}$；
- 证明见解析；
- $\left\{t \mid 0 < t < \dfrac{1}{2}\right\}$（或 $\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$）。
题目5：函数的三要素与定义
下列两个对应关系中，哪一个能构成函数？为什么？
- $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，其中 $f(x) = \sqrt{x}$。
- $g: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$，其中 $g(x) = \pm \sqrt{x}$。
考查点：定义域的限制与“唯一确定”的理解。
解析：第一个构成函数。函数的定义要求定义域中每个自变量对应唯一的函数值。对于 $g(x) = \pm \sqrt{x}$，一个 $x$ 对应两个 $y$ 值，不满足唯一性；而 $f(x) = \sqrt{x}$（算术平方根）是唯一确定的非负值。
答案：第一个能构成函数（$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 中 $\sqrt{x}$ 仅在 $x \ge 0$ 时有定义，但问题本身考查唯一性，此为常见示例设置）。
题目6：分段函数与奇偶性
已知函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x > 0 \\ -x^2 - 1, & x < 0 \end{cases}$。
- 这个函数是奇函数还是偶函数？
- 如果想让这个函数成为奇函数，$f(0)$ 应该等于多少？
考查点：分段函数的奇偶性判定及 $f(0)$ 的特殊处理。
解析：
-
非奇非偶。虽然当 $x > 0$ 和 $x < 0$ 时满足 $f(-x) = -f(x)$，但 $x=0$ 处函数没有定义，而奇函数的定义要求对定义域内的所有 $x$（包括 $0$）都成立，因此不满足奇函数定义。
-
若使其成为奇函数，需补充定义 $f(0) = 0$。
答案：
- 非奇非偶；
- $f(0) = 0$。
题目7：二次函数的图像与零点
二次函数 $y = x^2 - 2x + m$ 的图像与 $x$ 轴没有交点，求实数 $m$ 的取值范围。
考查点：判别式 $\Delta$ 与二次函数图像的关系。
解析：图像与 $x$ 轴无交点等价于方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 无实数解，即判别式 $\Delta < 0$：
$$ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m < 0， $$
解得 $m > 1$。
原解析中采用顶点坐标法，思路正确但计算过程有纰漏（顶点横坐标符号错误），现改用判别式法，更简洁。
答案：$m > 1$。
题目8：待定系数法
已知一个二次函数的图像经过三点 $(0, 0)$，$(1, 3)$，$(2, 8)$。写出设这个函数解析式的步骤（只需写出设法和代入后的方程组形式，不求最终结果）。
考查点：建模过程，设 $y = ax^2 + bx + c$。
解析：设 $f(x) = ax^2 + bx + c$。将三点坐标代入得：
$$ \begin{cases} f(0) = c = 0, \\ f(1) = a + b + c = 3, \\ f(2) = 4a + 2b + c = 8. \end{cases} $$
答案：方程组为 $\begin{cases} c = 0, \\ a + b + c = 3, \\ 4a + 2b + c = 8. \end{cases}$
题目9：二分法
用二分法求方程 $x^3 - 2x - 5 = 0$ 在区间 $[2, 3]$ 内的根。已知 $f(2) = -1$，$f(3) = 16$。请问第一次取中点后，新的有根区间是 $[2, 2.5]$ 还是 $[2.5, 3]$？为什么？
考查点：二分法的逻辑判断（同号还是异号）。
解析：取中点 $x_1 = 2.5$，计算 $f(2.5) = (2.5)^3 - 2 \times 2.5 - 5 = 15.625 - 5 - 5 = 5.625 > 0$。
因为 $f(2) \cdot f(2.5) < 0$（异号），由零点存在性定理，根在区间 $[2, 2.5]$ 内。
答案：新有根区间为 $[2, 2.5]$，因为 $f(2)$ 与 $f(2.5)$ 异号。