多元多项式因式分解

核心思想

将多元问题转化为一元或二元问题，通过“降维”实现分解。

1. 通用分解流程

2. 核心方法详解

2.1 主元法

原理：选定一个变量作为主元（通常选次数最低者），将其余变量视为常数，将多项式整理为主元的一元多项式后分解。

操作步骤：

1. 选择主元（优先选择次数最低的变量）；
2. 按主元的降幂排列多项式；
3. 按一元多项式的分解方法（提公因式、十字相乘、公式法等）分解。

示例：分解 $mn - 3n + 2m^2 - 5m - 3$

• 选主元：$n$ 的次数为 $1$，$m$ 的次数为 $2$，选 $n$ 为主元。
• 整理：$(m - 3)n + (2m^2 - 5m - 3)$。
• 分解：$2m^2 - 5m - 3 = (m - 3)(2m + 1)$，代入得 $$ (m - 3)n + (m - 3)(2m + 1) = (m - 3)(n + 2m + 1). $$

2.2 待定系数法

原理：预判分解形式，设出未知系数，展开后与原多项式对比系数，建立方程组求解。

操作步骤：

1. 根据多项式次数与变量，假设因式乘积形式，设出待定系数。
2. 展开乘积，并与原多项式逐项对比系数。
3. 解方程组，确定待定系数。

示例：分解 $x^2 + xy - 2y^2 + 2x + 5y - 3$

• 假设形式：由 $x^2 + xy - 2y^2 = (x + 2y)(x - y)$，设 $$ (x + 2y + a)(x - y + b). $$
• 展开对比： $$ x^2 + xy - 2y^2 + (a + b)x + (2b - a)y + ab. $$ 与原式对比得 $$ \begin{cases} a + b = 2, \\ 2b - a = 5, \\ ab = -3. \end{cases} $$
• 求解：由前两式解得 $a = -\dfrac{1}{3}$，$b = \dfrac{7}{3}$，代入 $ab = -\dfrac{7}{9} \neq -3$，说明该多项式在有理数范围内不能分解为所设形式。

注：待定系数法不仅可用于因式分解，也可验证分解可能性。

3. 方法选择总结

4. 通用策略口诀

一提公因式，二看公式形，三按项数分，主元定系数。

例题

已知函数 $f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}$，求 $f(x)\big|_{x_2}^{x_1}$ 并因式分解分子。

解：

由定义得

$$ f(x_1) = \frac{x_1}{1+x_1^2}, \quad f(x_2) = \frac{x_2}{1+x_2^2}, $$

则

$$ f(x)\big|_{x_2}^{x_1} = f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{1+x_1^2} - \frac{x_2}{1+x_2^2}. $$

通分，公分母为 $(1+x_1^2)(1+x_2^2)$：

$$ f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1(1+x_2^2) - x_2(1+x_1^2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)}, $$

展开分子：

$$ x_1(1+x_2^2) - x_2(1+x_1^2) = x_1 + x_1 x_2^2 - x_2 - x_2 x_1^2, $$

重组并提取公因式：

$$ \begin{aligned} & (x_1 - x_2) + (x_1 x_2^2 - x_2 x_1^2) \\ =& (x_1 - x_2) + x_1 x_2 (x_2 - x_1) \\ =& (x_1 - x_2) - x_1 x_2 (x_1 - x_2) \\ =& (x_1 - x_2)(1 - x_1 x_2). \end{aligned} $$

因此

$$ f(x)\big|_{x_2}^{x_1} = \dfrac{(x_1 - x_2)(1 - x_1 x_2)}{(1 + x_1^2)(1 + x_2^2)}. $$