指数与指数函数

实数指数幂及其运算

整数指数

设 $n \in \mathbf{N}_+$，$a^n$ 表示 $n$ 个因子 $a$ 的乘积：

$$ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{n \text{ 个}} $$

$a^n$ 称为 $a$ 的 $n$ 次幂，$a$ 称为幂的底数，$n$ 称为幂的指数。规定 $a^1 = a$。

运算法则（正整数指数）
对正整数指数幂，有：

1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2. $(a^m)^n = a^{mn}$
3. $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (m > n, a \neq 0)$
4. $(ab)^n = a^n b^n$

零指数与负整数指数

规定：

$$ a^0 = 1 \quad (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0, n \in \mathbf{N}_+) $$

该规定将指数范围推广至全体整数，且上述运算法则仍然成立。

根式与分数指数幂

定义（$n$ 次方根）
设 $a \in \mathbf{R}$，$n > 1$，$n \in \mathbf{N}_+$，若 $x^n = a$，则称 $x$ 为 $a$ 的 $n$ 次方根。

• $n$ 为奇数时：正数的 $n$ 次方根为正，负数的 $n$ 次方根为负。
• $n$ 为偶数时：正数的 $n$ 次方根有两个，互为相反数，记作 $\pm \sqrt[n]{a}$；负数没有偶次方根。

式子 $\sqrt[n]{a}$ 称为根式，$n$ 为根指数，$a$ 为被开方数。正数 $a$ 的正 $n$ 次方根称为 $a$ 的 $n$ 次算术根。

根式的性质

1. $(\sqrt[n]{a})^n = a$
2. $\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} a, & n \text{ 为奇数} \\ |a|, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$

分数指数幂的定义
设 $a > 0$，$m, n \in \mathbf{N}^*$，$n > 1$：

• 正分数指数幂：$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
• 负分数指数幂：$a^{-\frac{m}{n}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

规定 $0$ 的正分数指数幂为 $0$，负分数指数幂无意义。

有理数与实数指数幂的运算法则

设 $a, b > 0$，$\alpha, \beta \in \mathbf{Q}$，则：

$$ a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta}, \quad (a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \beta}, \quad (ab)^\alpha = a^\alpha b^\alpha. $$

当 $\alpha, \beta$ 为任意实数时，上述法则仍成立（$a > 0$）。

指数函数

定义
函数

$$ y = a^x \quad (a > 0, a \neq 1, x \in \mathbf{R}) $$

称为指数函数。条件 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 保证函数对任意实数 $x$ 有意义且非常值函数。

性质
指数函数 $y = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）满足：

函数值分布
设 $y = a^x$：

对数与对数函数

对数的定义与基本性质

定义
设 $a > 0$，$a \neq 1$，$N > 0$。若 $a^b = N$，则称 $b$ 为以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作

$$ b = \log_a N $$

其中 $a$ 为底数，$N$ 为真数。

对数表达式实质上是指数式 $N = a^b$ 的另一种表达形式。

指数与对数的等价关系

$$ a^x = N \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_a N \qquad (a > 0, a \neq 1, N > 0) $$

对数恒等式

$$ a^{\log_a N} = N $$

基本性质
对 $\log_a N$（$a > 0, a \neq 1$）：

1. 真数 $N > 0$（$0$ 和负数无对数）
2. $\log_a 1 = 0$
3. $\log_a a = 1$

常用对数与自然对数

• 常用对数：以 $10$ 为底，记作 $\lg N = \log_{10} N$。
• 自然对数：以无理数 $\mathrm{e} \approx 2.71828$ 为底，记作 $\ln N = \log_\mathrm{e} N$。

积、商、幂的对数

设 $M, N > 0$，$a > 0$，$a \neq 1$，$n \in \mathbf{R}$。令 $\log_a M = p$，$\log_a N = q$，则 $M = a^p$，$N = a^q$。

积的对数可推广至多个正因数：

$$ \log_a(N_1 N_2 \cdots N_k) = \log_a N_1 + \log_a N_2 + \cdots + \log_a N_k $$

换底公式

设 $a, b, c > 0$，$a, c \neq 1$，则

$$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$

当 $b = c$ 时，有

$$ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \quad (b \ne 1) $$

应用示例

$$ \ln a = \frac{\lg a}{\lg \mathrm{e}} $$

对数函数

定义
函数

$$ y = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1, x > 0) $$

称为对数函数，其定义域为 $(0, +\infty)$，值域为 $\mathbf{R}$。

性质
对数函数 $y = \log_a x$（$a > 0, a \neq 1$）满足：

指数函数与对数函数的关系（反函数）

若函数 $y = f(x)$ 是一一映射，则其反函数记为 $y = f^{-1}(x)$，满足 $f(f^{-1}(x)) = x$ 且 $f^{-1}(f(x)) = x$。$y = f(x)$ 与 $y = f^{-1}(x)$ 互为反函数。

定理
指数函数 $y = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）与对数函数 $y = \log_a x$（$a > 0, a \neq 1$）互为反函数，它们的图象关于直线 $y = x$ 对称。

幂函数

定义
形如

$$ y = x^{\alpha} \quad (\alpha \in \mathbf{R}) $$

的函数称为幂函数，其中 $\alpha$ 为常数。其形式特征为：系数为 $1$，底数为自变量 $x$，指数为常数。

性质

奇偶性（$\alpha$ 为正整数时）

图象相对位置（$x \ge 0$ 时）

凸凹性（$x \ge 0$ 时）

• 若 $\alpha \ge 1$，幂函数为凸函数；
• 若 $0 < \alpha \le 1$，幂函数为凹函数。