集合习题
题目1：集合的运算（基础题）
已知集合 $A = \{x \mid -1 < x < 3\}$，集合 $B = \{x \mid x > 1\}$，求 $A \cap B$。
考查内容：集合交集的定义，不等式区间的公共部分求解。
易错点：
- 混淆交集（且）与并集（或）的概念。
- 端点值的取舍错误（本题答案为开区间，但需养成检查取值范围是否包含等号的习惯）。
解析：
集合 $A$ 表示区间 $(-1, 3)$，集合 $B$ 表示区间 $(1, +\infty)$。$A \cap B$ 为两者的公共部分，即 $\{x \mid 1 < x < 3\}$（或 $(1, 3)$）。
答案：$\{x \mid 1 < x < 3\}$（或 $(1,3)$）。
题目2：空集与集合的包含关系
集合 $\{\varnothing\}$ 和集合 $\varnothing$ 是同一个集合吗？如果不是，它们的元素个数（基数）分别是多少？
考查点：空集的定义与集合元素的互异性。
解析：不是。
- 集合 $\varnothing$（空集）不包含任何元素，基数 $|\varnothing| = 0$。
- 集合 $\{\varnothing\}$ 包含一个元素（该元素为空集），基数 $|\{\varnothing\}| = 1$。
答案：不是同一集合；$|\varnothing| = 0$，$|\{\varnothing\}| = 1$。
题目3：幂集基数的计算
设集合 $A = \{1, 2\}$，写出 $A$ 的所有子集，并计算 $\mathcal{P}(A)$ 的基数。如果有一个集合的幂集有 $8$ 个元素，那么原集合有几个元素？
考查点：子集的列举与幂集公式的逆向应用。
解析：
集合 $A = \{1, 2\}$ 的所有子集为： $$\varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1, 2\}.$$ 因此 $\mathcal{P}(A) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$，基数为 $|\mathcal{P}(A)| = 4$。
设原集合有 $x$ 个元素，其幂集有 $2^x = 8$ 个元素，解得 $x = 3$。
答案：子集为 $\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}$，$|\mathcal{P}(A)|=4$；原集合有 $3$ 个元素。
题目4：容斥原理的应用
某班有 $50$ 人，其中 $30$ 人喜欢数学，$25$ 人喜欢语文，$10$ 人两科都不喜欢。请问既喜欢数学又喜欢语文的有多少人？
考查点：容斥原理的实际应用。
解析：
设喜欢数学的集合为 $A$，喜欢语文的集合为 $B$，则 $|A|=30$，$|B|=25$，总人数 $n=50$，两科都不喜欢的人数为 $10$。
至少喜欢一科的人数为 $|A \cup B| = 50 - 10 = 40$。
根据容斥原理： $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|,$$ 代入得 $$40 = 30 + 25 - |A \cap B|,$$ 解得 $|A \cap B| = 15$。
答案：既喜欢数学又喜欢语文的有 $15$ 人。