一扇门，可以想象为平面的一部分，通常用两个合页把它固定在门框的一边上，当门不锁上时，可以自由转动。如果门锁上，则门就固定在墙面上，这一事实说明：

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

• 门轴所在的直线可以看作一条直线，门锁的位置可以看作这条直线外的一个点。
• 当门不锁上时，门可以自由转动，意味着经过门轴（直线）和门转动过程中经过的点（可看作直线外的点）可以确定无数个平面（门转动到不同位置对应不同的平面）。
• 当门锁上时，门就固定在墙面上，意味着经过门轴（直线）和门锁的位置（直线外一点）有且只有一个平面（此时门所在的平面固定）。

第一关：直观图与还原 (考察：斜二测画法)

Q1: 面积还原

问题： 一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个边长为 $2$ 的正方形。 请问：原平面图形的面积是多少？ 提示：不要直接算正方形的面积，要还原回去。

求得此正方形的面积为 $4$，通过割补法可转化成斜边为 $2\sqrt{2}$，一对顶角为 $45^\circ$，底仍为 $2$ 的平行四边形。那么还原后的原平面图形的面积为 $$2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$

第二关：线面位置关系 (考察：逻辑判定)

Q2: 命题真假辨析

问题： 请判断下列四个命题的真假，并简要说明理由（或举出反例）：

1. 若直线 $l$ 平行于平面 $\alpha$ 内的无数条直线，则 $l \parallel \alpha$。
2. 若平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，且直线 $l \subset \alpha$，则 $l \perp \beta$。
3. 若直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$，且 $l \perp$ 直线 $m$，则 $m \parallel \alpha$。
4. 垂直于同一条直线的两个平面互相平行。

1. 错误。若直线 $l \subset \alpha$，那么与 $l$ 平行的直线构成的集合也是无限集，此时 $l \not\parallel \alpha$。
2. 错误。设 $\alpha \cap \beta = m$。取 $l \subset \alpha$ 且 $l \parallel m$，则 $l \parallel \beta$，但 $l \not\perp \beta$。
3. 错误。设 $l \cap \alpha = A$，取 $m \subset \alpha$ 且 $A \in m$，则 $l \perp m$，且 $m \not\parallel \alpha$。
4. 正确。
   设直线 $l \cap \alpha = A,l \cap \beta = B$，$A,B$ 分别是 $l$ 在 $\alpha,\beta$ 的垂足，$AB$ 中点为 $C$。
   对于 $\forall a_1,a_2 \in \{a|a \subset \alpha,A \in a\}$ 且 $a_1 \neq a_2$，任取点 $A_1 \in a_1,A_2 \in a_2 \quad (A_1 \neq A_2)$，连接并延长 $A_1C,A_2C$ 使它们各自与 $\beta$ 交于点 $B_1,B_2$。
   由此可知 $$\triangle A_1AC \cong \triangle B_1BC$$ $$\triangle A_2AC \cong \triangle B_2BC$$ $$\triangle A_1A_2C \cong \triangle B_1B_2C$$ 所以 $$A_1A \parallel B_1B$$ $$A_2A \parallel B_2B$$ 所以 $\alpha \parallel \beta$。
   也可改为：
   设直线 $l \perp \alpha$ 且 $l \perp \beta$，则 $\alpha$ 和 $\beta$ 都垂直于 $l$，因此它们的法向量都与 $l$ 平行，即法向量互相平行，故 $\alpha \parallel \beta$。
   或：
   若 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交于 $m$，在 $m$ 上取一点 $P$，过 $P$ 在 $\alpha$、$\beta$ 内分别作 $m$ 的垂线 $a$、$b$，则 $a$、$b$ 均与 $l$ 垂直，但 $a$、$b$ 相交于 $P$，于是 $l$ 垂直于它们确定的平面。而该平面与 $\alpha$ 都过 $a$ 和 $P$，可推出重合或矛盾，从而假设不成立。

第三关：几何体的计算 (考察：球与截面)

Q3: 球的截面问题

问题： 已知球 $O$ 的半径 $R = 5$。平面 $\alpha$ 截球 $O$ 所得的截面圆面积为 $9\pi$。

1. 求球心 $O$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $d$。
2. 若过球面上一点 $P$ 作平面 $\alpha$ 的垂线，垂足为 $H$，求 $PH$ 的最大值。

1. 根据截面圆面积，可求出截面圆半径为 $3$。根据勾股定理，球心 $O$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $d$ 为 $\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
2. 由 1 知，$\alpha$ 到球心 $O$ 的距离为 $4$。当 $P$ 位于球心到平面 $\alpha$ 的垂线与球面的远端交点，且 $P$ 与 $H$ 在球心两侧时，$P, O, H$ 共线，$PH$ 最大值 $= R + d = OH + PH = R + d = 9$。

第四关：综合推理 (考察：垂直关系的转化)

Q4: 三垂线定理的变式 (逻辑链)

问题： 如图（脑补图形），已知 $PA \perp$ 平面 $ABC$，且 $\triangle ABC$ 中 $\angle ACB = 90^\circ$（即 $AC \perp BC$）。 请问：$PC$ 与 $BC$ 垂直吗？ 为什么？

提示：利用“直线与平面垂直的性质”和“判定定理”进行推导。

垂直。
由 $PA \perp ABC$，可知
$PA \perp BC$。
又 $BC \perp AC$，$AC,PA \subset APC$
因此 $BC \perp APC$
所以 $$BC \perp PC$$

$\text{Q.E.D.}$

这本质上是三垂线定理的一种应用：$AC$ 是 $PC$ 在底面内的射影，$BC \perp AC$ 推出 $BC \perp PC$。