空间几何体
基本概念
几何体的定义
只考虑物体占有空间部分的形状与大小，忽略其他属性，该空间部分称为几何体。
构成几何体的基本元素
- 点、线、面：任意几何体均由点、线、面构成，此为构成几何体的基本元素。
- 线的分类：直线（段）与曲线（段）。
- 面的分类：平面（部分）与曲面（部分）。
平面的表示与性质
- 无限延展性：在立体几何中，平面被视为无限延展的。通常用平行四边形表示平面的一部分。
- 命名法：平面可用希腊字母 $\alpha, \beta, \gamma, \dots$ 命名，或用表示其平行四边形的对角顶点的字母命名（如平面 $ABCD$ 或平面 $AC$）。
几何体的生成
- 点动成线：点运动的轨迹形成线。方向不变则形成直线，方向变化则形成曲线。
- 线动成面：线运动的轨迹形成面。
- 面动成体：面运动的轨迹（经过的空间部分）形成几何体。
- 实例：
- 直线平行移动可形成平面或曲面。
- 固定射线端点并绕圆弧转动，可形成锥面。
- 长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 可视为底面 $ABCD$ 各点垂直向上平移相同距离得到上底面 $A'B'C'D'$，对应顶点在同一铅垂线上。
多面体
多面体及其性质
- 定义：由若干个平面多边形围成的几何体。
- 相关元素：
- 面：围成多面体的各个多边形。
- 棱：相邻两个面的公共边。
- 顶点：棱与棱的公共点。
- 对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段。
- 凸多面体：将多面体的任意一个面延展为平面，若其余各面均在此平面的同一侧，则该多面体为凸多面体。
- 分类：根据面的个数，多面体可分为四面体、五面体、六面体等。多面体至少包含 $4$ 个面。
- 截面：一个几何体与一个平面相交所得的平面图形（含内部），称为该几何体的截面。
棱柱
| 属性 | 说明 |
|---|---|
| 定义 | 有两个互相平行的面，且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行。 |
| 底面 | 两个互相平行的面。 |
| 侧面 | 除底面外的其余各面。 |
| 侧棱 | 两侧面的公共边。 |
| 高 | 两底面之间的距离。 |
| 分类 (按底面) | 三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 |
| 分类 (按侧棱) | 斜棱柱（侧棱不垂直于底面）、直棱柱（侧棱垂直于底面）。正棱柱是底面为正多边形的直棱柱。 |
| 特例 | 底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体是长方体。 |
| 表示法 | 用表示两底面对应顶点的字母或一条对角线端点的字母表示，如五棱柱 $ABCDE-A'B'C'D'E'$ 或 $AC'$。 |
棱锥
| 属性 | 说明 |
|---|---|
| 定义 | 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。 |
| 底面 | 多边形。 |
| 侧面 | 有公共顶点的各三角形。 |
| 顶点 | 各侧面的公共顶点。 |
| 侧棱 | 相邻两侧面的公共边。 |
| 高 | 顶点到底面的距离。 |
| 正棱锥 | 底面是正多边形，且顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上。此时，$SO \perp$ 底面 $ABCDE$。 |
| 斜高 | 正棱锥侧面等腰三角形底边上的高。各侧面斜高均相等。例如 $SM$。 |
| 分类 (按底面) | 三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 |
| 表示法 | 用表示顶点和底面各顶点的字母或表示顶点和底面一条对角线端点的字母表示，如 $S-ABCDE$ 或 $S-AC$。 |
注：$S$ 为棱锥顶点，$O$ 为正棱锥底面中心。
棱台
| 属性 | 说明 |
|---|---|
| 定义 | 棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分。 |
| 上、下底面 | 原棱锥的截面和底面。 |
| 侧面 | 除上、下底面外的其余各面。 |
| 侧棱 | 相邻两侧面的公共边。 |
| 高 | 两底面间的距离。 |
| 正棱台 | 由正棱锥截得的棱台。其侧面为全等的等腰梯形。 |
| 斜高 | 正棱台侧面等腰梯形的高。 |
| 表示法 | 用表示上、下底面的字母命名，如棱台 $ABCD-A'B'C'D'$ 或 $AC'$，其中下底面为 $ABCD$，上底面为 $A'B'C'D'$，高为 $OO'$。 |
旋转体
圆柱、圆锥、圆台
| 几何体 | 生成方式 | 轴 | 高 | 底面 | 母线 |
|---|---|---|---|---|---|
| 圆柱 | 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周。 | 旋转轴 ($O'O$) | 在轴上的边的长度 ($O'O$) | 垂直于轴的边旋转而成的圆面 | 不垂直于轴的边旋转而成的曲面 ($A'A$) |
| 圆锥 | 以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周。 | 旋转轴 ($SO$) | 在轴上的边的长度 ($SO$) | 垂直于轴的边旋转而成的圆面 | 不垂直于轴的边旋转而成的曲面 ($SA$) |
| 圆台 | 以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周。 | 旋转轴 | 在轴上的边的长度 | 垂直于轴的边旋转而成的圆面 | 不垂直于轴的边旋转而成的曲面 |
定理（旋转体的截面性质）
- 平行于底面的截面：对于圆柱、圆锥、圆台，平行于底面的截面均为圆面。
- 轴截面：
- 圆柱的轴截面为矩形。
- 圆锥的轴截面为等腰三角形。
- 圆台的轴截面为等腰梯形。
球
- 定义：球面可视为一个半圆绕其直径所在直线旋转一周所形成的曲面。球面所围成的几何体称为球。
- 球心：形成球的半圆的圆心。
- 半径：连接球心与球面上任意一点的线段。
- 直径：连接球面上两点且通过球心的线段。
- 表示法：用表示球心的字母表示，如球 $O$。
- 球面的轨迹定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合。
定理（球的截面性质） 用平面 $\alpha$ 截半径为 $R$ 的球 $O$，设球心到平面 $\alpha$ 的距离为 $d$。
- 截面是圆面，其半径为 $r = \sqrt{R^2 - d^2}$。
- 若 $d = 0$（平面过球心），截面为球的大圆，半径 $r = R$。
- 若 $d \neq 0$，截面为球的小圆，半径 $r < R$。
球面距离 在球面上，经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度，称为两点的球面距离。此为球面上两点之间的最短路径。
组合体
由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体称为组合体。研究组合体时，可将其分解为若干个基本几何体进行分析。
投影与直观图
平行投影
- 定义：已知图形 $F$、直线 $l$ 与平面 $\alpha$。过 $F$ 上任意一点 $M$ 作 $MM' \parallel l$ 交 $\alpha$ 于点 $M'$，则 $M'$ 称为点 $M$ 在平面 $\alpha$ 内关于直线 $l$ 的平行投影。图形 $F$ 上所有点的投影构成图形 $F'$，称为 $F$ 在 $\alpha$ 内关于 $l$ 的平行投影。其中 $\alpha$ 为投射面，$l$ 为投射线。
定理（平行投影的性质） 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：
- 直线或线段的投影仍是直线或线段。
- 平行直线的投影是平行或重合的直线。
- 平行于投射面的线段，其投影与这条线段平行且等长。
- 与投射面平行的平面图形，其投影与该图形全等。
- 在同一直线或平行直线上，两条线段投影的比等于这两条线段的比。
正等测画法是一种基于平行投影法的轴测投影绘制方法，属于正轴测图的一种。正等测画法包含以下关键特征：
- 投影方式：投影方向垂直于轴测投影面，投射线与人的视线平行。
- 轴向关系：物体的三个坐标轴（$X$、$Y$、$Z$）与投影面的倾角相等，使得在投影图上，任意两根轴测轴（即坐标轴在投影面上的投影）之间的夹角（轴间角）均为 $120^\circ$。
- 伸缩系数：三个坐标轴的轴向伸缩系数相等。理论上该系数约为 $0.82$，但在实际作图中，为了简化计算，通常取简化系数为 $1$，即按物体的实际尺寸进行绘制。
直观图与斜二测画法
- 直观图：用来表示空间图形的平面图形。
- 斜二测画法规则：
- 建系：在已知图形中取互相垂直的 $Ox$、$Oy$ 轴，再取 $Oz$ 轴，使 $\angle xOz = 90^\circ$，$\angle yOz = 90^\circ$。
- 画对应轴：在直观图中画 $O'x'$、$O'y'$、$O'z'$ 轴，使 $\angle x'O'y' = 45^\circ$（或 $135^\circ$），$\angle x'O'z' = 90^\circ$。$x'O'y'$ 平面表示水平平面。
- 平行性不变：已知图形中平行于坐标轴的线段，在直观图中仍平行于对应坐标轴。
- 长度规则：已知图形中平行于 $x$ 轴和 $z$ 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于 $y$ 轴的线段，长度变为原来的一半。
- 成图：擦去辅助坐标轴，得到直观图。
中心投影
一个点光源将一个图形照射到一个平面上所得到的影子，称为该图形在这个平面上的中心投影。
三视图
正投影
在物体的平行投影中，投射线与投射面垂直的投影称为正投影。
定理（正投影的补充性质）
- 垂直于投射面的直线或线段的正投影是一个点。
- 垂直于投射面的平面图形的正投影是一条直线或直线的一部分。
三视图的构成与规则
| 视图名称 | 投射面位置 | 观察方向 |
|---|---|---|
| 主视图 | 直立投射面（正前方） | 正前方 |
| 俯视图 | 水平投射面（正上方） | 正上方 |
| 左视图 | 侧立投射面（正左方） | 正左方 |
三视图的排列与尺寸对应关系
- 排列规则：俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方。
- 尺寸对应：
- 主视图与俯视图：长度相等（长对正）。
- 主视图与左视图：高度相等（高平齐）。
- 俯视图与左视图：宽度相等（宽相等）。
面积
棱柱、棱锥、棱台的面积
| 几何体 | 侧面积公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 直棱柱 | $S_{\text{直棱柱侧}} = c h$ | $c$ 为底面周长，$h$ 为高。 |
| 正棱锥 | $S_{\text{正棱锥侧}} = \frac{1}{2} c h'$ | $c$ 为底面周长，$h'$ 为斜高。 |
| 正棱台 | $S_{\text{正棱台侧}} = \frac{1}{2} (c + c') h'$ | $c, c'$ 分别为下、上底面周长，$h'$ 为斜高。 |
注：棱柱、棱锥、棱台的表面积（全面积）等于侧面积与底面积之和。
圆柱、圆锥、球的面积
| 几何体 | 侧面积公式 | 表面积公式 |
|---|---|---|
| 圆柱 | $S_{\text{圆柱侧}} = 2\pi R h$ | $S_{\text{圆柱}} = 2\pi R h + 2\pi R^2$ |
| 圆锥 | $S_{\text{圆锥侧}} = \pi R l$ | $S_{\text{圆锥}} = \pi R l + \pi R^2$ |
| 球 | $S_{\text{球}} = 4\pi R^2$（球面面积等于其大圆面积的四倍） |
注：
- $R$ 为底面半径，$h$ 为高，$l$ 为母线长。
- 由扇形面积公式可知，圆锥侧面展开后的扇形半径为 $l$，弧长为 $2 \pi R$，那么 $S = \dfrac{1}{2} \times 2 \pi R \times l = \pi R l$。
- 与弧长与扇形面积相关的初中内容，请参阅弧长与扇形面积。
体积
祖暅原理
夹在两个平行平面间的两个等高几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等。
推论：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
柱、锥、台、球的体积公式
| 几何体 | 体积公式 |
|---|---|
| 柱体（棱柱、圆柱） | $V_{\text{柱体}} = S h$ 对于圆柱：$V_{\text{圆柱}} = \pi r^2 h$ |
| 锥体（棱锥、圆锥） | $V_{\text{锥体}} = \frac{1}{3} S h$ 对于圆锥：$V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ |
| 台体（棱台、圆台） | $V_{\text{台体}} = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{SS'} + S')$ 对于圆台：$V_{\text{圆台}} = \frac{1}{3} \pi h (r^2 + r r' + r'^2)$ |
| 球 | $V_{\text{球}} = \frac{4}{3} \pi R^3$ |
注：
- $S, S'$ 分别为下、上底面面积，$h$ 为高，$r, r'$ 分别为下、上底面半径，$R$ 为球半径。
- 利用台体侧棱延长交于一点的特性，可将其体积视为两个共顶点锥体的体积差。详细推导过程，请参阅台体体积公式推导。
点、线、面之间的位置关系
平面的基本性质与推论
平面的基本性质
公理 1
若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上的所有点都在该平面内。
此时称直线在平面内或平面经过直线。
- 集合语言：若 $A \in \alpha$，$B \in \alpha$，则 $AB \subset \alpha$。
- 作用：判断一条直线是否在平面内。
公理 2
经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
等价表述：不共线的三点确定一个平面。
公理 3
若不重合的两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。
- 这条公共直线称为两平面的交线。
- 若两平面有一条公共直线，则称它们相交。
- 集合语言：$\alpha \cap \beta = a$。
画图规则
画两个相交平面时，被遮挡部分画成虚线或不画。
平面基本性质的推论
| 推论 | 内容 |
|---|---|
| 推论 1 | 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 |
| 推论 2 | 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 |
| 推论 3 | 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 |
共面与异面直线
共面
空间中的点或直线若都在同一平面内，则称它们共面。共面的两条直线平行或相交。
异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行。
判定方法
与平面相交于一点的直线，与该平面内不经过交点的直线是异面直线。
集合语言表示
- 点 $A$ 在平面 $\alpha$ 内：$A \in \alpha$；不在 $\alpha$ 内：$A \notin \alpha$。
- 直线 $l$ 在平面 $\alpha$ 内：$l \subset \alpha$；不在 $\alpha$ 内：$l \not\subset \alpha$。
- 直线 $l$ 与 $m$ 相交于点 $A$：$l \cap m = A$。
空间中的平行关系
平行直线
公理 4（空间平行线的传递性）
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
即：若 $a \parallel b$，$c \parallel b$，则 $a \parallel c$。
定理（等角定理）
若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向相同，则这两个角相等。
补充结论
- 两组对应边方向都相反：两角相等。
- 一组对应边方向相同，另一组相反：两角互补。
空间四边形
顺次连接不共面的四点 $A,B,C,D$ 所构成的图形。
- 顶点：$A,B,C,D$
- 边：相邻顶点的连线
- 对角线：连接不相邻顶点的线段，如 $AC$，$BD$。
直线与平面平行
位置关系
直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系有三种：
| 关系 | 公共点个数 | 记法 |
|---|---|---|
| 直线在平面内 | $\infty$ | $l \subset \alpha$ |
| 直线与平面相交 | $1$ | $l \cap \alpha = A$ |
| 直线与平面平行 | $0$ | $l \parallel \alpha$ |
判定定理
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与平面平行。
性质定理
若一条直线与一个平面平行，且过该直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行。
平面与平面平行
定义
若两个平面没有公共点，则称它们互相平行，记作 $\alpha \parallel \beta$。
判定定理
若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。
推论
若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。
性质定理
若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。
比例性质
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
空间中的垂直关系
直线与平面垂直
两条直线垂直的定义
若两条直线相交（或平移后相交）所成的角为直角，则称它们互相垂直。
直线与平面垂直的定义
若一条直线与一个平面相交，且与平面内过交点的任何直线都垂直，则称该直线与平面互相垂直。
- 直线称为平面的垂线，平面称为直线的垂面，交点称为垂足。
- 垂线上一点到垂足的线段称为点到平面的垂线段，其长度称为点到平面的距离。
- 记法：$l \perp \alpha$。
性质
若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的任意一条直线。
判定定理
若一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则该直线与平面垂直。
推论 1
若两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。
推论 2
若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行。
镜面对称
- 若平面 $\alpha$ 经过线段 $AA'$ 的中点且垂直于 $AA'$，则 $\alpha$ 称为线段 $AA'$ 的垂直平分面，点 $A$ 与 $A'$ 关于 $\alpha$ 成镜面对称。
- 若图形 $F$ 的所有点关于平面 $\alpha$ 的对称点构成图形 $F'$，则 $F$ 与 $F'$ 关于 $\alpha$ 成镜面对称。
- 若一个图形经镜面对称变换后与自身重合，则称为镜面对称图形。
平面与平面垂直
定义
设两相交平面 $\alpha$，$\beta$ 的交线为 $CD$。在 $CD$ 上任取一点 $B$，分别在 $\alpha$，$\beta$ 内作 $BA \perp CD$，$BE \perp CD$。
若 $\angle ABE = 90^\circ$，则称 $\alpha \perp \beta$。
等价定义：若两个相交平面的交线垂直于第三个平面，且两平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则这两个平面互相垂直。
判定定理
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
性质定理
若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。