注意：这需要在页面的 [extra] 部分（按页面设置）或网站的 config.toml 文件的 [extra] 部分（全局设置）中启用 mathjax = true。
行内
- 例如：$P(s) = a_0 + a_1 \cdot s + a_2 \cdot s^2 + ... + a_d \cdot s^d$
- 例如：$a_0,..,a_d \in \mathbb{F}_p$
块级
- 例如： $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$
- 例如： $$ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \int_0^{\frac{k}{n}} \frac{e^{-x^2}}{1 + x^2} dx \right)^{\frac{1}{\Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)}} \right] = \cfrac{\pi}{2 \cdot \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \ddots}}}} $$
取整
对 $x$ 向上取整，记为 $\lceil x \rceil$。
对 $x$ 向下取整，记为 $\lfloor x \rfloor$。
映射
设 $A, B$ 是两个非空集合。如果 $f$ 是直积 $A \times B$ 的一个子集，且满足：
- 存在性： 对于任意 $x \in A$，都存在 $y \in B$，使得 $(x, y) \in f$；
- 唯一性： 若 $(x, y) \in f$ 且 $(x, z) \in f$，则必有 $y = z$。
则称 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个映射。此时，记 $y = f(x)$，并称 $B$ 为映射 $f$ 的陪域。
弧长与扇形面积
一、弧长公式
弧长是指圆周或任意平滑曲线上两点之间的曲线长度，通常不包括两点间的直线距离（弦长）。弧长由圆心角和半径唯一确定。
1. 角度制
设圆心角为 $n^\circ$，半径为 $r$，则弧长 $l$ 为圆周长的 $\dfrac{n}{360}$：
$$ l = \frac{n\pi r}{180} $$
2. 弧度制
$\text{rad}$（radian，弧度）是国际单位制中的平面角单位，定义为圆弧长度等于半径时的圆心角。
设圆心角为 $\theta$，半径为 $r$，则弧长为：
$$ l = r\theta $$
推导依据：弧度定义为弧长与半径的比值 $\theta = \dfrac{l}{r}$。
角度与弧度互化：
$$ \frac{180^\circ}{\pi} = 1 \ \text{rad}, \quad n^\circ = \frac{n\pi}{180} \ \text{rad} $$
二、扇形面积与弧长的关系
核心公式
扇形面积 $S$ 与弧长 $l$、半径 $r$ 满足：
$$ S = \frac{1}{2} l r $$
推导
| 推导路径 | 已知公式 | 代入过程 |
|---|---|---|
| 角度制 | $S = \dfrac{n\pi r^2}{360}$，$l = \dfrac{n\pi r}{180}$ | 由 $l$ 得 $\dfrac{n\pi}{360} = \dfrac{l}{2r}$，代入 $S$ 得 $S = \dfrac{1}{2}lr$ |
| 弧度制 | $S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta$，$l = r\theta$ | 由 $l$ 得 $\theta = \dfrac{l}{r}$，代入 $S$ 得 $S = \dfrac{1}{2}lr$ |
直观理解
扇形可视为“曲边三角形”，弧长 $l$ 对应底边，半径 $r$ 对应高，面积形式与三角形面积 $\dfrac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$ 一致。
三、基本结论与运算
| 已知量 | 可求量 | 公式 |
|---|---|---|
| $l, r$ | $S$ | $S = \dfrac{1}{2} l r$ |
| $S, l$ | $r$ | $r = \dfrac{2S}{l}$ |
| $S, r$ | $l$ | $l = \dfrac{2S}{r}$ |
| $n, r$ | $l$ | $l = \dfrac{n\pi r}{180}$ |
| $\theta, r$ | $l$ | $l = r\theta$ |
核心思想
- 角度制下弧长依赖比例 $\dfrac{n}{360}$。
- 弧度制下弧长公式 $l = r\theta$ 形式更简洁。
- 公式 $S = \dfrac{1}{2}lr$ 沟通了曲边图形（扇形）与直边图形（三角形），蕴含“以直代曲”的微积分思想雏形。
台体体积公式推导
1. 问题定义与几何模型
已知条件：
- 台体上底面积：$S'$
- 台体下底面积：$S$
- 台体高：$h$
几何构建（补形法）： 将台体的侧棱延长相交于点 $O$，将其补全为一个大锥体。
- 大锥体：底面积为 $S$，高为 $a$（顶点 $O$ 到下底面的距离）。
- 小锥体：底面积为 $S'$，高为 $a'$（顶点 $O$ 到上底面的距离）。
根据几何关系可知： $$h = a - a'$$
2. 体积关系的建立
台体的体积 $V_{台体}$ 等于大锥体体积减去小锥体体积：
$$V_{台体} = V_{大锥体} - V_{小锥体}$$
代入锥体体积公式 $V = \frac{1}{3} \cdot \text{底面积} \cdot \text{高}$：
$$V_{台体} = \frac{1}{3}Sa - \frac{1}{3}S'a' \quad \cdots\cdots ①$$
3. 利用相似性质寻找关系
由于台体的上下底面平行，大锥体与小锥体是相似几何体。根据相似图形的性质，面积比等于相似比（长度比）的平方。
$$\frac{S'}{S} = \left( \frac{a'}{a} \right)^2$$
由此可得边长比（相似比）与面积的关系： $$\frac{a'}{a} = \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}}$$
整理得到 $a'$ 与 $a$ 的关系式： $$a' = \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}} a \quad \cdots\cdots ②$$
4. 消去辅助变量 $a$ 和 $a'$
我们的目标是消去 $a$ 和 $a'$，只保留 $h, S, S'$。
第一步：利用高度差公式 将 ② 式代入高度关系 $h = a - a'$ 中： $$h = a - \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}} a$$ $$h = a \left( 1 - \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}} \right)$$ $$h = a \left( \frac{\sqrt{S} - \sqrt{S'}}{\sqrt{S}} \right)$$
第二步：解出 $a$ $$a = \frac{h\sqrt{S}}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}} \quad \cdots\cdots ③$$
第三步：解出 $a'$ 将 ③ 代回 ② 式： $$a' = \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}} \cdot \frac{h\sqrt{S}}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}} = \frac{h\sqrt{S'}}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}} \quad \cdots\cdots ④$$
5. 代入体积公式并化简
将 ③ 和 ④ 代入最初的体积公式 ①：
$$V_{台体} = \frac{1}{3}S \left( \frac{h\sqrt{S}}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}} \right) - \frac{1}{3}S' \left( \frac{h\sqrt{S'}}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}} \right)$$
提取公因式 $\frac{h}{3(\sqrt{S} - \sqrt{S'})}$：
$$V_{台体} = \frac{h}{3(\sqrt{S} - \sqrt{S'})} \left( S\sqrt{S} - S'\sqrt{S'} \right)$$
注意到 $S\sqrt{S} = (\sqrt{S})^3$，利用立方差公式 $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ 对分子部分进行因式分解：
$$S\sqrt{S} - S'\sqrt{S'} = (\sqrt{S})^3 - (\sqrt{S'})^3 = (\sqrt{S} - \sqrt{S'})(S + \sqrt{SS'} + S')$$
代回原式进行约分：
$$V_{台体} = \frac{h}{3(\sqrt{S} - \sqrt{S'})} \cdot (\sqrt{S} - \sqrt{S'})(S + \sqrt{SS'} + S')$$
消去 $(\sqrt{S} - \sqrt{S'})$，得到最终结果。
6. 最终结论
台体体积公式为：
$$V = \frac{1}{3}h(S + S' + \sqrt{SS'})$$
注：该公式适用于所有台体（包括棱台和圆台）。
- 当 $S = S'$ 时，公式退化为柱体体积 $V=Sh$。
- 当 $S' = 0$ 时，公式退化为锥体体积 $V=\frac{1}{3}Sh$。