平面解析几何初步演示
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直线的两点式方程：截距公式推导

两点式方程

给定直线上的两点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，且 $x_1 \neq x_2$，$y_1 \neq y_2$，则直线的两点式方程为

$$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}. $$

该方程基于斜率相等原理：直线上任意一点与已知点连线的斜率等于已知两点连线的斜率。

斜率公式

由两点坐标直接得斜率

$$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. $$

$y$ 轴截距公式

将两点式化为斜截式 $y = kx + b$，可得截距 $b$ 的两种等价表达式：

表达式公式
基于点 $A(x_1, y_1)$$\displaystyle b = y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_1$
基于点 $B(x_2, y_2)$$\displaystyle b = y_2 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_2$
对称形式$\displaystyle b = \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2 - x_1}$

几何意义

  • 斜率 $k$：反映直线的倾斜程度。
  • 截距 $b$：反映直线与 $y$ 轴的交点坐标 $(0, b)$。

等价性证明

1. 由 $A(x_1, y_1)$ 推导

$$ \begin{aligned} b &= y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_1 \\ &= \frac{y_1(x_2 - x_1) - x_1(y_2 - y_1)}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{x_2 y_1 - x_1 y_1 - x_1 y_2 + x_1 y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2 - x_1}. \end{aligned} $$

2. 由 $B(x_2, y_2)$ 推导

$$ \begin{aligned} b &= y_2 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_2 \\ &= \frac{y_2(x_2 - x_1) - x_2(y_2 - y_1)}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{x_2 y_2 - x_1 y_2 - x_2 y_2 + x_2 y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2 - x_1}. \end{aligned} $$

两式化简结果相同，故等价。

计算建议

实际计算时，选择坐标数值较简单的点代入相应公式。

若某点横坐标为 $0$（如 $(0, 3)$），则直接代入基于该点的表达式可快速得到截距。

两条直线垂直的条件

定理（垂直的代数条件）

设两条直线的方程分别为

$$ l_1:\ A_1x + B_1y + C_1 = 0, \qquad l_2:\ A_2x + B_2y + C_2 = 0. $$

则

$$ l_1 \perp l_2 \iff A_1A_2 + B_1B_2 = 0. $$

证明

1. 平移转化

直线 $l_1$ 与 $A_1x + B_1y = 0$ 平行或重合，$l_2$ 与 $A_2x + B_2y = 0$ 平行或重合。平移不改变直线的方向，因此

$$ l_1 \perp l_2 \iff l_1' \perp l_2'. $$

故只需研究过原点的直线 $l_1'$ 与 $l_2'$ 的垂直条件。

2. 非坐标轴平行情形

设 $B_1 \neq 0$，$B_2 \neq 0$（即 $l_1'$，$l_2'$ 均不与坐标轴平行）。

在 $l_1'$ 上取非原点 $A(x_1, y_1)$，在 $l_2'$ 上取非原点 $B(x_2, y_2)$。若 $l_1' \perp l_2'$，则 $\triangle OAB$ 为直角三角形，直角在原点 $O(0,0)$。由勾股定理：

$$ OA^2 + OB^2 = AB^2; $$

代入坐标：

$$ (x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2; $$

展开右端：

$$ x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2; $$

两边消去 $x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2$，得

$$ 0 = -2x_1x_2 - 2y_1y_2 \quad \Rightarrow \quad x_1x_2 + y_1y_2 = 0. \tag{1} $$

3. 代入直线方程

由 $A(x_1, y_1) \in l_1'$ 得 $A_1x_1 + B_1y_1 = 0$。因 $B_1 \neq 0$，

$$ y_1 = -\frac{A_1}{B_1}x_1. $$

同理，由 $B(x_2, y_2) \in l_2'$ 及 $B_2 \neq 0$，

$$ y_2 = -\frac{A_2}{B_2}x_2. $$

代入 $(1)$ 式：

$$ \begin{aligned} & x_1x_2 + \left(-\frac{A_1}{B_1}x_1 \right)\left(-\frac{A_2}{B_2}x_2 \right) \\ =& x_1x_2 + \frac{A_1A_2}{B_1B_2}x_1x_2 \\ =& x_1x_2 \left(1 + \frac{A_1A_2}{B_1B_2} \right) \\ =& 0. \end{aligned} $$

因 $A$，$B$ 均非原点，故 $x_1 \neq 0$，$x_2 \neq 0$，从而 $x_1x_2 \neq 0$。因此

$$ 1 + \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = -1 \quad \Rightarrow \quad A_1A_2 + B_1B_2 = 0. \tag{2} $$

4. 特殊情形

  • 若 $l_1$ 与坐标轴平行
    此时 $B_1 = 0$，$l_1$ 为竖直线 $x = x_0$（$x_0$ 为常数）；与 $l_1$ 垂直的直线必为水平线，即 $A_2 = 0$。
    代入 $(2)$ 式左端得 $A_1 \cdot 0 + 0 \cdot B_2 = 0$，公式成立。
  • 若 $l_2$ 与坐标轴平行
    同理，$A_2 = 0$，$l_2$ 为水平线，垂直条件要求 $l_1$ 竖直线（$B_1 = 0$），代入公式亦得 $0$。
  • 若两直线均与坐标轴平行
    均为竖直线（$B_1 = B_2 = 0$）或均为水平线（$A_1 = A_2 = 0$）时，它们平行而非垂直；
    此时 $A_1A_2 + B_1B_2 \neq 0$，公式给出“不垂直”，正确。

综上，条件 $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ 对一切直线均适用。

推论（斜截式情形）

若 $l_1: y = k_1x + b_1$，$l_2: y = k_2x + b_2$，且 $B_1B_2 \neq 0$（即斜率均存在），则由一般式系数关系 $k_1 = -\dfrac{A_1}{B_1}$，$k_2 = -\dfrac{A_2}{B_2}$ 可得

$$ l_1 \perp l_2 \iff k_1k_2 = -1. $$

总结

直线形式垂直条件
一般式 $A_i x + B_i y + C_i = 0$$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$
斜截式 $y = k_i x + b_i$（斜率均存在）$k_1k_2 = -1$

点到直线的距离公式

定理（距离公式）

设坐标平面内有一点 $P(x_0, y_0)$ 和一条直线

$$ l: Ax + By + C = 0 \quad (A^2 + B^2 \neq 0), $$

则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为

$$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. $$

证明

当 $P \in l$，则 $Ax_0 + By_0 + C = 0$，公式成立；

当 $P \notin l$，故 $Ax_0 + By_0 + C \neq 0$。

1. 构造垂足

过点 $P$ 作直线 $m$ 垂直于 $l$，垂足为 $Q(x_1, y_1)$。则所求距离 $d = |PQ|$。

2. 建立方程

由 $m \perp l$，可得直线 $m$ 的斜率为 $\dfrac{B}{A}$，方程为

$$ \begin{aligned} (y - y_0) &= \frac{B}{A} \ (x - x_0) \\ B(x - x_0) - A(y - y_0) &= 0. \end{aligned} $$

由 $Q \in m$，代入上式得

$$ B(x_1 - x_0) - A(y_1 - y_0) = 0. \tag{3} $$

由 $Q \in l$，得 $Ax_1 + By_1 + C = 0$，即

$$ C = -Ax_1 - By_1. $$

由于 $P \notin l$，于是

$$ \begin{aligned} & Ax_0 + By_0 + C \\ =& Ax_0 + By_0 - Ax_1 - By_1 \\ \neq& 0. \end{aligned} $$

整理得

$$ A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1) = Ax_0 + By_0 + C. \tag{4} $$

由 $(3)$，$(4)$ 得到含 $P, Q$ 横坐标差与纵坐标差的等式。

3. 平方相加

已知 $(3)$ 式值 $= 0$，$(4)$ 式值 $\neq 0$，故

$$ \underbrace{B(x_1 - x_0) - A(y_1 - y_0)}_{(3)} + \underbrace{A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1) = Ax_0 + By_0 + C}_{(4)}. $$

由两点间距离公式知，$|PQ|^2$ 等于 $P, Q$ 横坐标差值的平方与纵坐标差值的平方之和。将 $(3)$，$(4)$ 两边平方后相加，得

$$ [A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1)]^2 + [B(x_1 - x_0) - A(y_1 - y_0)]^2 = (Ax_0 + By_0 + C)^2. $$

计算左端

$$ \begin{aligned} & [A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1)]^2 + [-B(x_0 - x_1) + A(y_0 - y_1)]^2 \\ =& [A(x_0 - x_1)]^2 + 2AB(x_0 - x_1)(y_0 - y_1) + [B(y_0 - y_1)]^2 \\ &+ [-B(x_0 - x_1)]^2 - 2AB(x_0 - x_1)(y_0 - y_1) + [A(y_0 - y_1)]^2 \\ &= (A^2 + B^2)(x_0 - x_1)^2 + (A^2 + B^2)(y_0 - y_1)^2 \\ &= (A^2 + B^2) \left[(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2 \right]. \end{aligned} $$

因此

$$ (A^2 + B^2) \left[(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2 \right] = (Ax_0 + By_0 + C)^2. $$

4. 得到距离

注意到 $(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2 = d^2$，故

$$ d^2 = \frac{(Ax_0 + By_0 + C)^2}{A^2 + B^2}, $$

开方得

$$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. $$

算法步骤

步骤操作
1赋值 $x_0, y_0$（点的坐标）
2赋值 $A, B, C$（直线方程系数）
3计算 $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
4输出 $d$

圆的方程

圆的一般方程与一般二元二次方程的关系

将圆的标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 展开并令 $D = -2a$，$E = -2b$，$F = a^2 + b^2 - r^2$，得

$$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. \tag{5} $$

配方得

$$ \begin{aligned} \left(x + \frac{D}{2} \right)^2 + \left(y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} - \frac{E^2}{4} + F &= 0 \\ \left(x + \frac{D}{2} \right)^2 + \left(y + \frac{E}{2} \right)^2 &= \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}. \end{aligned} $$

方程 $(1)$ 的配方形式表示圆的充要条件是 $D^2 + E^2 - 4F > 0$，满足此条件的方程 $(1)$ 是圆的一般方程。此时它表示一个圆心为 $\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$，半径为 $\dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$ 的圆。

二元二次方程的一般形式为

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. \tag{6} $$

方程 $(5)$ 是 $(6)$ 在以下条件下的特殊情形：

  • $x^2$ 与 $y^2$ 系数相等且不为 $0$（即 $A = C \neq 0$），若系数不为 $1$，可除以该系数化为 $(1)$ 的形式；
  • 不含 $xy$ 项（即 $B = 0$）。

直线与圆的位置关系

利用一元二次方程判别式求直线与圆的位置关系

设圆方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$（其中 $D^2 + E^2 - 4F > 0$），直线方程为 $Ax + By + C = 0$（$A, B$ 不全为零）。联立方程组：

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \\ Ax + By + C = 0 \end{cases} $$

通过消元（例如将直线方程解出 $y$（或 $x$）代入圆方程）以及换元（简化表达式的结构，非必须）得到关于 $x$（或 $y$）的一元二次方程。

令 $t_1 = -\dfrac{B}{A}, t_2 = - \dfrac{C}{A}$（$A \neq 0$）；则 $x = t_1y + t_2$。将其代入圆的一般方程得

$$ \begin{aligned} (t_1y + t_2)^2 + y^2 + D(t_1y + t_2) + Ey + F &= 0 \\ (t_1y)^2 + 2(t_1t_2y) + t_2^2 + y^2 + Dt_1y + Dt_2 + Ey + F &= 0 \\ (t_1^2 + 1)y^2 + (2t_1t_2 + Dt_1 + E)y + t_2^2 + Dt_2 + F &= 0. \end{aligned} $$

将 $t_1, t_2$ 的值还原后得

$$ \frac{A^2 + B^2}{A^2}y^2 + \left(\frac{2BC - ABD + A^2E}{A^2} \right)y + \frac{C^2 - ACD + A^2F}{A^2} = 0. \tag{7} $$

同理，令 $t_3 = -\dfrac{A}{B}, t_4 = - \dfrac{C}{B}$（$B \neq 0$）；则 $y = t_3x + t_4$。将其代入圆的一般方程得

$$ \begin{aligned} x^2 + (t_3x + t_4)^2 + Dx + E(t_3x + t_4) + F &= 0 \\ x^2 + (t_3x)^2 + 2(t_3t_4x) + t_4^2 + Dx + Et_3x + Et_4 + F &= 0 \\ (t_3^2 + 1)x^2 + (2t_3t_4 + Et_3 + D)x + t_4^2 + Et_4 + F &= 0. \end{aligned} $$

将 $t_3, t_4$ 的值还原后得

$$ \frac{A^2 + B^2}{B^2}x^2 + \left(\frac{2AC - ABE + B^2D}{B^2} \right)x + \frac{C^2 - BCE + B^2F}{B^2} = 0. \tag{8} $$

$(7)$ 两边同时乘以 $A^2$，得整系数方程

$$ \underbrace{(A^2 + B^2)}_{a}y^2 + \underbrace{(2BC - ABD + A^2E)}_{b}y + \underbrace{C^2 - ACD + A^2F}_{c} = 0. \tag{9} $$

$(8)$ 两边同时乘以 $B^2$，得整系数方程

$$ \underbrace{(A^2 + B^2)}_{a}x^2 + \underbrace{(2AC - ABE + B^2D)}_{b}x + \underbrace{C^2 - BCE + B^2F}_{c} = 0. \tag{10} $$

计算判别式 $\Delta_x$

对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。

由方程 $(9),(10)$ 各自得到 $a,b,c$ 的值。因此 $(9),(10)$ 对应的判别式分别为 $(11),(12)$：

$$ \Delta = (2BC - ABD + A^2E)^2 - 4(A^2 + B^2)(C^2 - ACD + A^2F), \tag{11} $$

$$ \Delta = (2AC - ABE + B^2D)^2 - 4(A^2 + B^2)(C^2 - BCE + B^2F). \tag{12} $$

由判别式 $\Delta$ 的值可知，直线 $Ax + By + C = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的位置关系为

  • 相交：$\Delta > 0$，方程组有两个不同的实数解，对应两个交点，解集为两个点的坐标。
  • 相切：$\Delta = 0$，方程组有唯一实数解，对应一个切点，解集为一个点的坐标。
  • 相离：$\Delta < 0$，方程组无实数解，解集为空集。

利用点到直线的距离公式求直线与圆的位置关系

已知 $\odot O$ $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的圆心坐标为 $\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$，半径 $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$（$D^2 + E^2 - 4F > 0$）。

将圆心坐标代入 $\dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，则圆心到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离

$$ \begin{aligned} d =& \frac{|A(-\frac{D}{2}) + B(-\frac{E}{2}) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\ =& \frac{|-AD - BE + 2C|}{2 \sqrt{A^2 + B^2}} \\ =& \frac{|AD + BE - 2C|}{2 \sqrt{A^2 + B^2}}. \quad (A^2 + B^2 > 0) \end{aligned} $$

由于 $r, d > 0$，因此 $r^2 - d^2$ 的值与 $r - d$ 的值同号。
$r^2 - d^2$，得

$$ \begin{aligned} r^2 - d^2 =& \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4} - \frac{(AD + BE - 2C)^2}{4(A^2 + B^2)} \\ =& \frac{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2 - 4F) - (AD + BE - 2C)^2}{4(A^2 + B^2)}. \end{aligned} $$

等式两边同乘以 $4(A^2 + B^2)$ 得

$$ 4(A^2 + B^2)(r^2 - d^2) = (A^2 + B^2)(D^2 + E^2 - 4F) - (AD + BE - 2C)^2. \tag{13} $$

由上式可知，$(A^2 + B^2)(D^2 + E^2 - 4F) - (AD + BE - 2C)^2$ 的值与 $r^2 - d^2$ 同号，它决定直线与圆的位置关系。即

  • 相交：$r > d$，即 $(A^2 + B^2)(D^2 + E^2 - 4F) > (AD + BE - 2C)^2$；
  • 相切：$r = d$，即 $(A^2 + B^2)(D^2 + E^2 - 4F) = (AD + BE - 2C)^2$；
  • 相离：$r < d$，即 $(A^2 + B^2)(D^2 + E^2 - 4F) < (AD + BE - 2C)^2$。

用 $\Delta$ 值表示 $(13)$ 的等式右侧，则

$$ \Delta = 4(A^2 + B^2)(r^2 - d^2). \tag{14} $$

$(11), (12)$ 经过统一简化，最终形式即 $(14)$。

圆与圆的位置关系

联立两圆方程

$$ \begin{cases} (x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = r_1^2, \\ (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 = r_2^2. \end{cases} $$

采用消元法：

  1. 消去二次项

两式相减，得一次方程（根轴）

$$ 2(a_2 - a_1)x + 2(b_2 - b_1)y = r_1^2 - r_2^2 - a_1^2 - b_1^2 + a_2^2 + b_2^2, \tag{15} $$

记为 $L(x, y) = 0$。从中解出一个变量（例如 $y$）代入任一圆方程，得到关于另一个变量（例如 $x$）的一元二次方程。
以 $y = f(x)$ 为例，由 $(15)$ 可知

$$ y = \frac{r_1^2 - r_2^2 - a_1^2 - b_1^2 + a_2^2 + b_2^2 - 2(a_2 - a_1)x}{2(b_2 - b_1)}. \quad (b_2 - b_1 \neq 0) $$

将 $y$ 代入 $(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = r_1^2$，得

$$ (x - a_1)^2 + \left[\frac{r_1^2 - r_2^2 - a_1^2 - b_1^2 + a_2^2 + b_2^2 - 2(a_2 - a_1)x}{2(b_2 - b_1)} - b_1\right]^2 = r_1^2. \tag{16} $$

令 $\Delta a = a_2 - a_1, \Delta b = b_2 - b_1$，并记

$$ K = r_1^2 - r_2^2 - a_1^2 + a_2^2 + (\Delta b)^2, $$

因此方程 $(16)$ 可化为

$$ (x - a_1)^2 + \left( \frac{K - 2\Delta ax}{2\Delta b} \right)^2 = r_1^2. $$

将上式右侧移至左侧并转化为一元二次方程的一般形式 $Ax^2 + Bx + C = 0$，结果为

$$ \underbrace{[(\Delta a)^2 + (\Delta b)^2]}_{A}x^2 \underbrace{-[2(\Delta b)^2 a_1 + K\Delta a]}_{B}x + \underbrace{\left[(\Delta b)^2 a_1^2 + \frac{K^2}{4} - (\Delta b)^2 r_1^2\right]}_{C} = 0. $$

  1. 判别式与交点个数

设判别式 $\Delta = B^2 - 4AC$，则

  • $\Delta > 0$：两个不同实根 $\Rightarrow$ 两圆相交于两个不同点。
  • $\Delta = 0$：重根 $\Rightarrow$ 两圆相切（外切或内切）。
  • $\Delta < 0$：无实根 $\Rightarrow$ 两圆相离（外离或内含）。
  1. 细分相切和相离

判别式无法区分外切与内切、外离与内含，需补充圆心距

$$ d = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2}. $$

判定规则如下：

位置关系判别式符号圆心距条件
外切$\Delta = 0$$d = r_1 + r_2$
内切$\Delta = 0$$d = |r_1 - r_2|$（$r_1 \neq r_2$）
外离$\Delta < 0$$d > r_1 + r_2$
内含$\Delta < 0$$d < |r_1 - r_2|$（两圆同心时 $d = 0$）
  1. 特殊情形：两圆重合

若 $r_1 = r_2$ 且 $d = 0$，则两圆方程完全相同，相减后得 $0 = 0$，原方程组等价于一个圆方程，有无穷多解（整个圆）。此情形不属于上述五种位置关系，可作为补充。

结论 通过消元得到的一元二次方程的判别式 $\Delta$，可先判断两圆是相交（$\Delta > 0$）、相切（$\Delta = 0$）还是相离（$\Delta < 0$）；再结合圆心距 $d$ 与半径 $r_1, r_2$ 的数量关系，即可完整区分外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。

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