1. 问题定义与几何模型

已知条件：

• 台体上底面积：$S'$
• 台体下底面积：$S$
• 台体高：$h$

几何构建（补形法）： 将台体的侧棱延长相交于点 $O$，将其补全为一个大锥体。

• 大锥体：底面积为 $S$，高为 $a$（顶点 $O$ 到下底面的距离）。
• 小锥体：底面积为 $S'$，高为 $a'$（顶点 $O$ 到上底面的距离）。

根据几何关系可知 $$h = a - a'.$$

2. 体积关系的建立

台体的体积 $V_{台体}$ 等于大锥体体积减去小锥体体积：

$$V_{台体} = V_{大锥体} - V_{小锥体}$$

代入锥体体积公式 $V = \frac{1}{3}$ 乘以底面积再乘以高：

$$V_{台体} = \frac{1}{3}Sa - \frac{1}{3}S'a' \quad \tag{1}$$

3. 利用相似性质寻找关系

由于台体的上下底面平行，大锥体与小锥体是相似几何体。根据相似图形的性质，面积比等于相似比（长度比）的平方：

$$\frac{S'}{S} = \left(\frac{a'}{a} \right)^2.$$

由此可得边长比（相似比）与面积的关系为 $$\frac{a'}{a} = \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}}.$$

整理得到 $a'$ 与 $a$ 的关系式： $$a' = \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}} a \quad \tag{2}$$

4. 消去辅助变量 $a$ 和 $a'$

我们的目标是消去 $a$ 和 $a'$，只保留 $h, S, S'$。

第一步：利用高度差公式

将 $(2)$ 式代入高度关系 $h = a - a'$ 中：

$$ \begin{aligned} h &= a - \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}} a \\ &= a \left( 1 - \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}} \right) \\ &= a \left(\frac{\sqrt{S} - \sqrt{S'}}{\sqrt{S}} \right). \end{aligned} $$

第二步：解出 $a$

$$a = \frac{h\sqrt{S}}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}} \quad \tag{3}$$

第三步：解出 $a'$

将 $(3)$ 代回 $(2)$ 式： $$a' = \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}} \cdot \frac{h\sqrt{S}}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}} = \frac{h\sqrt{S'}}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}} \quad \tag{4}$$

5. 代入体积公式并化简

将 $(3)$ 和 $(4)$ 代入最初的体积公式 $(1)$：

$$V_{台体} = \frac{1}{3}S \left(\frac{h\sqrt{S}}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}} \right) - \frac{1}{3}S' \left(\frac{h\sqrt{S'}}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}} \right).$$

提取公因式 $\dfrac{h}{3(\sqrt{S} - \sqrt{S'})}$：

$$V_{台体} = \frac{h}{3(\sqrt{S} - \sqrt{S'})} \left( S\sqrt{S} - S'\sqrt{S'} \right).$$

注意到 $S\sqrt{S} = (\sqrt{S})^3$，利用立方差公式 $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ 对分子部分进行因式分解：

$$S\sqrt{S} - S'\sqrt{S'} = (\sqrt{S})^3 - (\sqrt{S'})^3 = (\sqrt{S} - \sqrt{S'})(S + \sqrt{SS'} + S').$$

代回原式进行约分：

$$V_{台体} = \frac{h}{3(\sqrt{S} - \sqrt{S'})} \cdot (\sqrt{S} - \sqrt{S'})(S + \sqrt{SS'} + S').$$

消去 $(\sqrt{S} - \sqrt{S'})$，得到最终结果。

6. 最终结论

台体体积公式为：

$$V = \frac{1}{3}h(S + S' + \sqrt{SS'}).$$

注：该公式适用于所有台体（包括棱台和圆台）。

• 当 $S = S'$ 时，公式退化为柱体体积 $V = Sh$。
• 当 $S' = 0$ 时，公式退化为锥体体积 $V = \dfrac{1}{3}Sh$。